Universal International Scientific Journal
151
Azimov Raximjon Karimovich
Andijon davlat universiteti
Uzbekistan
https://orcid.org/0000-0001-9630-513X
Annotatsiya:
Ushbu ishda fazoda tekislik va to‘g‘ri chiziq tenglamalarining analitik ifodalanishi,
ularning turlari, geometrik talqini hamda o‘zaro joylashuv holatlari o‘rganiladi. Fazodagi uch o‘lchamli
koordinatalar sistemasida tekislikning umumiy, nuqta-vektorli va normal ko‘rinishdagi tenglamalari bilan
tanishtiriladi. Shuningdek, to‘g‘ri chiziqning parametrik va yo‘nalish vektorli tenglamalari yoritiladi. Ish
davomida tekislik va to‘g‘ri chiziq o‘rtasidagi o‘zaro bog‘liqlik, ularning kesishish shartlari, parallel va
perpendikulyar bo‘lish holatlari tahlil qilinadi. Shuningdek, nuqtadan tekislikka yoki to‘g‘ri chiziqqa
bo‘lgan masofa, burchak va proyeksiya kabi muhim geometrik tushunchalarga ham e’tibor qaratiladi.
Mazkur mavzu matematikaning analitik geometriya bo‘limida muhim o‘rin egallab, muhandislik,
fizika va kompyuter grafikasi sohalarida keng qo‘llaniladi. Ish natijasida talabalar fazodagi asosiy
geometrik obyektlarni analitik shaklda ifodalash va tahlil qilish ko‘nikmasiga ega bo‘ladilar.
Kalit so‘zlar:
Fazoda tekislik, to‘g‘ri chiziq, koordinatalar sistemasi, tekislik tenglamasi, normal
vektor, parametrik tenglama, vektor tenglama, yo‘nalish vektori, tekisliklar kesishmasi, chiziq va tekislik
Universal Xalqaro Ilmiy Jurnal
FAZODA TEKISLIK VA TO‘G‘RO CHIZIQ TENGLAMALARI
Universal International Scientific
Year: 2025 Issue: 2 Volume: 2
Published: 27.02.2025
International indexes
Universal International Scientific Journal
15
2
o‘zaro joylashuvi, parallel va perpendikulyar chiziqlar, nuqtadan tekislikka masofa, fazoda burchak,
analitik geometriya, proyeksiya, fazoviy tahlil.
Аннотация:
В работе изучается аналитическое представление уравнений плоскости и прямой
в пространстве, их типы, геометрическая интерпретация и случаи взаимного расположения.
Вводятся уравнения плоскости в общем виде, точечно-векторные и нормальные формы в
трехмерной системе координат в пространстве. Рассматриваются также параметрические и
направляющие векторные уравнения прямой линии. В ходе работы анализируются взаимосвязь
плоскости и прямой, условия их пересечения, случаи параллельности и перпендикулярности. Также
будет уделено внимание важным геометрическим понятиям, таким как расстояние от точки до
плоскости или прямой, угол и проекция.
Эта тема занимает важное место в аналитической геометрии — разделе математики и широко
используется в области техники, физики и компьютерной графики. В результате работы учащиеся
приобретут навыки представления и анализа основных геометрических объектов в пространстве в
аналитической форме.
Ключевые слова:
Плоскость в пространстве, прямая, система координат, уравнение
плоскости, вектор нормали, параметрическое уравнение, векторное уравнение, направляющий
вектор, пересечение плоскостей, взаимное расположение прямой и плоскости, параллельные и
перпендикулярные прямые, расстояние от точки до плоскости, угол в пространстве, аналитическая
геометрия, проекция, пространственный анализ.
Abstract:
This work studies the analytical representation of plane and straight line equations in space,
their types, geometric interpretation, and mutual localization cases. In a three-dimensional coordinate
system in space, general, point-vector, and normal equations of the plane are introduced. Also, parametric
and direction vector equations of a straight line are covered. During the work, the relationship between a
plane and a straight line, the conditions for their intersection, and the cases of parallelism and
perpendicularity are analyzed. Also, attention is paid to important geometric concepts such as the distance
from a point to a plane or straight line, angle, and projection.
This topic occupies an important place in the analytical geometry section of mathematics and is
widely used in the fields of engineering, physics, and computer graphics. As a result of the work, students
will acquire the skills to represent and analyze the main geometric objects in space in an analytical form.
Keywords:
Plane in space, straight line, coordinate system, equation of the plane, normal vector,
parametric equation, vector equation, direction vector, intersection of planes, mutual location of a line and
a plane, parallel and perpendicular lines, distance from a point to a plane, angle in space, analytical
geometry, projection, spatial analysis.
Language:
Uzbek
Universal International Scientific Journal
15
3
Citation:
Azimov , R. (2025). EQUATIONS OF A PLANE AND A STRAIGHT LINE IN SPACE.
Universal
International
Scientific
Journal,
2(2),
151–159.
Retrieved
from
https://universaljurnal.uz/index.php/jurnal/article/view/1493
Doi:
https://doi.org/10.5281/zenodo.15228628
Kirish.
Analitik
geometriya
fazodagi
geometrik
obyektlarning
algebraik ifodalanishini o‘rganadi va
ularning o‘zaro bog‘liqliklarini aniqlashda
muhim vosita hisoblanadi. Ayniqsa, uch
o‘lchamli Evklid fazosida tekislik va
to‘g‘ri chiziq kabi asosiy geometrik
elementlarning tenglamalarini aniqlash va
ularni
tahlil
qilish
zamonaviy
matematikaning dolzarb yo‘nalishlaridan
biridir. Fazoda tekislik va to‘g‘ri
chiziqning
analitik
ifodasi,
ularning
parametrik,
vektorli
hamda
umumiy
tenglama ko‘rinishlari, bu obyektlar
orasidagi
geometrik
munosabatlar
(masalan,
kesishish,
parallel
va
perpendikulyarlik) turli sohalarda —
xususan,
muhandislik,
fizik
modellashtirish, kompyuter grafikasi va
fazoviy
tahlil
ishlanmalarida
keng
qo‘llaniladi. Mazkur maqolada fazoda
tekislik va to‘g‘ri chiziq tenglamalarining
asosiy turlari, ularning o‘zaro joylashuv
holatlari, shuningdek, nuqta, chiziq va
tekislik orasidagi masofalar, burchaklar va
proyeksiyalarni aniqlash usullari tizimli
ravishda bayon etiladi. Tadqiqot natijalari
fazoviy geometriya masalalarining nazariy
asoslarini
mustahkamlash
va
ularni
amaliyotga tatbiq etishda foydali bo‘lishi
mumkin.
Tekislikning umumiy tenglamasi.
Vektorning tekislikka parallelik sharti.
Tekislik o‘zining umumiy tenglamasi bilan
berilgan bo‘lsin.
Ax+By+Cz+D=0
(1.1)
va
𝑎⃗ = {𝑎
1
, 𝑎
2
, 𝑎
3
}
, berilgan (1.1)
tekislikka parallel bo‘lsin (1-rasm),
1-rasm.
Bu xolda (1.1) tekislikdan shunday
ikkita
𝑀
1
va
𝑀
2
nuqtalar topadaliki bular
uchun,
𝑀
1
𝑀
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 𝑎⃗
bo‘ladi. Shartga ko‘ra
𝑀
1
(𝑥
1
𝑢
1
𝑧
1
)
va
𝑀
2
(𝑥
2
𝑢
2
𝑧
2
)
nuqtalar
berilgan tekislikda yotganligi uchun
𝐴𝑥
1
+ 𝐵𝑦
1
+ 𝐶𝑧
1
+ 𝐷 = 0
va
𝐴𝑥
2
+ 𝐵𝑦
2
+ 𝐶𝑧
2
+ 𝐷 = 0
shartlar bajariladi, bundan esa
quyidagicha tenglikka ega bo‘lamiz:
𝐴(𝑥
2
− 𝑥
1
) + 𝐵(𝑦
2
− 𝑦
1
) + 𝐶(𝑧
2
− 𝑧
1
)
= 0
Ikkinchi tomondan
𝑀
1
𝑀
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑥
2
−
𝑥
1
, 𝑦
2
− 𝑦
1
, 𝑧
2
− 𝑧
1
} = 𝑎⃗
ekanligidan
quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
A
𝑎
1
+
B
𝑎
2
+ C𝑎
3
= 0
(1.2)
Bu xosil bo‘lgan (1.2) shart
𝑎⃗
vektorni berilgan tekislikka parallellik
shartini ifodalaydi.
Universal International Scientific Journal
15
4
Tekislikning umumiy tenglamasini
fazodagi vaziyatini o‘rganamiz.
a) Agar A
≠ 0,
B
≠ 0,
C
≠ 0
, D
= 0
bo‘lsa, u xolda (1.1) tenglamamiz quyidagi
ko‘rinishda bo‘ladi:
Ax+By+Cz+D=0
Bu xolda tekisligimiz koordinata
boshidan o‘tuvchi tekislik bo‘ladi
,
chunki
O(0
, 0,
0) nuqtaning koordinatalari tekislik
tenglamasini qanoatlantiradi (2 -rasm).
2-rasm.
3-rasm.
b) Faraz qilaylik A
≠ 0,
B
≠ 0,
D
=
0
, C
≠ 0
bo‘lsin, u xolda tenglamamiz
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
Ax+By+D=0.
Bu xolda
𝑘⃗⃗ = {0,0,1}
vektor bilan
(1.1) tekislik uchun (1.2) shart bajariladi,
bundan esa tekislik oz o‘qiga parallel
ekanligi kelib chiqadi. (3 - rasm).
v) Faraz qilaylik A
≠ 0,
B
≠ 0,
D
=
0
, C
= 0
bo‘lsin, u xolda tekislikning
tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
Ax+By=0
bundan
esa
(1.1)
tekislikka O‘z o‘qidan o‘tishligi kelib
chiqadi (4 – rasm).
4 – rasm.
r) Faraz qilaylik A
≠ 0,
B
≠ 0,
C
= 0
,
D
≠ 0
bo‘lsin
,
u xolda tenglamamiz
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
Ax+D=0. Bu xolda xosil bo‘lgan
tekislik tenglamasi bilan
𝑗⃗ = {0,1,0}
va
𝑘⃗⃗ = {0,0,1}
vektorlar uchun (1.2)
shart bajariladi. Tekisligimiz koordinata
boshidan o‘tmaganligi uchun (D
≠ 0
)
,
u
(0 y z) tekisligiga parallel tekislik
bo‘ladi(5- rasm).
5-rasm.
d) Faraz qilaylik A
≠ 0,
B
= 0,
C
=
0
, D
= 0
bo‘lsin
,
u xolda tekislik
tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
Ax
= 0,
yoki x
= 0.
va tenglamamiz (o y z) tekisligidan iborat
bo‘ladi(6 -rasm).
Universal International Scientific Journal
155
6-rasm.
Uch nuqtadan o‘tuvchi tekislik
tenglamasi.
Faraz qilaylik bizga bir
to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta nuqta
berilgan bo‘lsin
,
𝑀
1
(𝑥
1
, 𝑦
1
, 𝑧
1
),
𝑀
2
(𝑥
2
, 𝑦
2
, 𝑧
2
)
va
𝑀
3
(𝑥
3
, 𝑦
3
, 𝑧
3
).
U xolda bu nuqtalar orqali
𝛼
tekislik o‘tkazish mumkin. Bu tekislikda
yotuvchi ixtiyoriy
𝑀(𝑥, 𝑦, ƶ)
nuqta olamiz.
Bu berilgan nuqtalardan
𝑀
1
𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑀
1
𝑀
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑀
1
𝑀
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
vektorlarni tuzamiz
,
bu vektorlar
komplanar vektorlar bo‘ladi.
Bu vektorlarni komplanarlik sharti
quyidagicha bo‘ladi:
|
𝑥 − 𝑥
1
𝑦 − 𝑦
1
𝑧 − 𝑧
1
𝑥
2
− 𝑥
1
𝑦
2
− 𝑦
1
𝑧
2
− 𝑧
1
𝑥
3
− 𝑥
1
𝑦
3
− 𝑦
1
𝑧
3
− 𝑧
1
| = 0
(2.1)
Xosil bo‘lgan (2.1) tenglik
,
fazoda
berilgan uchta nuqtadan o‘tuvchi tekislik
tenglamasini ifodalaydi.
Faraz
qilaylik
bizga
𝑀
1
(𝑎, 0,0), 𝑀
2
(0, 𝑣, 0),
𝑀
3
(0,0, 𝑠)
nuqtalar berilgan bo‘lsin
,
bu nuqtalardan
o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzamiz.
|
𝑥 − 𝑎
𝑦
𝑧
−𝑎
𝑣
0
−𝑎
0
𝑠
| = 0
yoki
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑣
+
𝑧
𝑠
= 1 (2.2)
Bu tenglamaga tekislikni kesmalarga
nisbatan tenglamasi deyiladi.
§ 5.3. Ikki tekislikning o‘zaro
vaziyati
Faraz qilaylik
,
bizga tekisliklar
o‘zining umumiy tenglamalari bilan
berilgan bo‘lsin:
α
1
: A
1
x + V
1
y +
S
1
z + D
1
= 0,
(3.1)
α
2
: A
2
x + V
2
y +
S
2
z + D
2
= 0,
(3.2)
Bu tekisliklarni o‘zaro vaziyatini
o‘rganish uchun quyidagi matritsalarni
tuzamiz:
N
1
= (
A
1
V
1
S
1
A
2
V
2
S
2
)
va
N
2
=
(
A
1
V
1
S
1
D
1
A
2
V
2
S
2
D
2
)
Faraz qilaylik
r
1
va
r
1
lar mos
ravishta
N
1
va
N
2
matritsalarni ranglari
bo‘lsin. U xolda
r
1
≤
r
2
.
Quyidagi xollarni qarab chiqamiz:
1.
r
1
= 2.
Bu xolda
r
2
= 2
bo‘lib
(3.1) va (3.2) tenglamalar sistemasi cheksiz
ko‘p
Yechishga
ega
bo‘ladi
va
tenglamalarimiz to‘g‘ri chiziq bo‘yicha biri
ikkinchisini kesib o‘tadi.
2.
r
1
= 1,
r
2
= 2.
Bu
shartni
quyidagicha yozishimiz mumkin:
A
2
= λA
1
,
V
2
= λV
1
, S
2
=
λS
1
, D
2
≠ λD
1
.
Bu xolda
α
1
,
α
2
tekisliklarimiz biri
ikkinchisini
kesib
o‘tmaydi
,
ya’ni
tekisliklar parallel bo‘ladi.
3.
r
1
= r
2
= 1.
Bu
shartni
quyidagicha yozishimiz mumkin:
A
2
= λA
1
,
V
2
= λV
1
, S
2
=
λS
1
, D
2
= λD
1
.
Universal International Scientific Journal
15
6
Bu shartlar bajarilganda
α
1
,
α
2
tekisliklar ustma-ust tushadi.
Shunday qilib biz quyidagilarni isbot
qildik:
Tekislikning normal tenglamasi.
Nuqtadan tekislikkacha bo‘lgan masofa
Tekislikka
perpendikulyar
𝑛⃗⃗
vektorga uning normal vektori deyiladi.
Agar tekislik o‘zining umumiy tenglamasi
bilan berilgan bo‘lsa
A
0
x + V
0
y +
S
0
z + D
0
= 0
(4.1)
va
𝐴
0
2
+ 𝑉
0
2
+ 𝑆
0
2
= 1
shart bajarilsa
,
tekislik o‘zining normal tenglamasi bilan
berilgan deyiladi. Normal vektor
𝑛
0
⃗⃗⃗⃗⃗ =
{A
0,
V
0,
S
0
}
koordinatlarga ega bo‘ladi.
Agarda yuqoridagi shart bajarilmasa uni
normal xolga keltirish mumkin
,
buning
uchun
𝑛
0
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑛
→
|
𝑛
→|
vektorni tanlash yetarlidir.
Bundan esa tekislikni normal tenglamasini
ko‘rinishi quyidagicha bo‘lishi kelib
chiqadi.
Ax + By + Cz + D
√A
2
+ B
2
+ C
2
= 0 (4.2)
Agar tekislik o‘zining normal
tenglamasi
bilan
berilgan
bo‘lsa,
𝑀
1
(𝑥
1
𝑢
1
𝑧
1
)
nuqtadan
tekislikkacha
bo‘lgan
masofa quyidagi formula bilan xisoblanadi.
t = A
0
x
1
+ V
0
y
1
+ S
0
z
1
+
D
0
(4.3)
Tekislik tenglamasi normal bo‘lmasa
masofa quyidagicha xisoblanadi:
t
=
𝐴𝑥
1
+ 𝐵𝑦
1
+ 𝐶𝑧
1
+ 𝐷
√A
2
+ B
2
+ C
2
(4.4)
1-Misol. (3,1,-1) nuqtadan 22x+4u-
20
z
-45
= 0
tekislikkacha bo‘lgan
masofa topilsin.
Yechish: Nuqtadan tekislikkacha
bo‘lgan masofa (4.2) bilan xisoblanadi.
Universal International Scientific Journal
15
7
t =
22 × 3 + 4 × 1 − 20 × (−1) − 45
√22
2
+ 4
2
+ (−20)
2
=
45
√900
=
3
2
.
Ikki tekislik orasidagi burchak.
Tekisliklar o‘zining umumiy tenglamalari
bilan berilgan bo‘lsin:
A
1
x + V
1
y + S
1
z + D
1
=
0
va
A
2
x + V
2
y + S
2
z + D
2
= 0.
Bu
tekisliklarni
normal
vektorlari
quyidagilar bo‘ladi:
𝑛⃗⃗
1
= {A
1,
V
1,
S
1
}
va
𝑛⃗⃗
2
=
{A
2,
V
2,
S
2
}
.
Berilgan
tekisliklar
orasidagi
burchak , ularni normal vektorlari orasidagi
burchak bilan bir xil bo‘lganligi uchun
quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑛
1
→ ×
𝑛
2
→
|𝑛
1
|
→ ×
|𝑛
2
|
→
=
A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
√𝐴
1
2
+ 𝐵
1
2
+ 𝐶
1
2
× √𝐴
2
2
+ 𝐵
2
2
+ 𝐶
2
2
(5.1)
Agar berilgan tekisliklar o‘zaro
perpendikulyar bo‘lsa, u xolda
A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
= 0
bo‘ladi.
(5.2)
2-Misol.
Quyidagi
tekisliklar
orasidagi burchak topilsin:
2𝑥 − 𝑦 + 2z − 3 = 0,
6𝑥 + 2𝑦 − 3z + 8 = 0.
Yechish.
Berilgan
tekisliklarni
normal vektorlarini topamiz,
𝑛⃗⃗
1
= {2, −1,2}
,
𝑛⃗⃗
2
= {6,2, −3}
.
Bundan esa esa (5.1) ga ko‘ra
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
2 × 6 + 1 × 2 − 2 × 3
√4 + 1 + 4 × √36 + 4 + 9
=
4
21
.
To‘g‘ri chiziqning parametrik
tenglamasi.
Faraz
qilaylik
bizga
𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0
)
nuqta va to‘g‘ri chiziqning
yo‘naltiruvchi
vektori
𝑎⃗= {a
1
, a
2
, a
3
}
berilgan bo‘lsin(7- rasm).
7-rasm.
To‘g‘ri chiziqdan ixtiyoriy M(x,y,z)
nuqtani olamiz.
𝑀
0
𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
va
𝑎⃗
vektorlar
kolliniar vektorlar bo‘lganligi uchun
quyidagini yozishimiz mumkin:
𝑀
⃗⃗⃗
0
𝑀 = 𝑡𝑎⃗
Bu tenglikdan koordinat formulaga
o‘tadigan bo‘lsak:
𝑥 = 𝑥
0
+ 𝑎
1
𝑡
𝑦 = 𝑦
0
+ 𝑎
2
𝑡
𝑧 = 𝑧
0
+ 𝑎
3
𝑡
}
(6.1)
tenglamalarga ega bo‘lamiz. Xosil bo‘lgan
(6.1) tenglamaga to‘g‘ri chiziqning
parametrik
tenglamasi
deyiladi.
Bu
tenglamaga
ekvivalent
quyidagi
tenglamani xam yozishimiz mumkin:
𝑥−𝑥
0
𝑎
1
=
𝑦−𝑦
0
𝑎
2
=
z−z
0
𝑎
3
(6.2)
Xosil bo‘lgan (6.2) tenglamaga
to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi
deyiladi.
Universal International Scientific Journal
15
8
Ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri
chiziq tenglamasi.
Bizga fazoda ikkita
𝑀
1
(𝑥
1
, 𝑦
1
, z
1
)
,
𝑀
2
(𝑥
2
, 𝑦
2
, z
2
)
nuqtalar
berilgan bo‘lsin. Bu nuqtalardan o‘tuvchi
to‘g‘ri chiziq uchun
𝑀
1
𝑀
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= {𝑥
2
−
𝑥
1
, 𝑦
2
− 𝑦
1
, z
2
− z
1
}
vektor yo‘naltiruvchi
vektor bo‘ladi, bundan esa
𝑎
1
= 𝑥
2
− 𝑥
1
, 𝑎
2
= 𝑦
2
− 𝑦
1
, 𝑎
3
=
z
2
− z
1
bo‘ladi.
Bu nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri
chiziqning kanonik tenglamasi quyidagi
ko‘rinishda bo‘ladi:
𝑥−𝑥
1
𝑥
2
−𝑥
1
=
𝑦−𝑦
1
𝑦
2
−𝑦
=
z−z
1
z
2
−z
1
(7.1)
1-Misol.
𝑀
1
(1,3, −2)
va
𝑀
2
(2, −1,0)
nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri
chiziq tenglamasi tuzilsin.
𝑥−1
2−1
=
𝑦−3
−1−3
=
z+2
0+2
yoki
𝑥−1
1
=
𝑦−3
−4
=
z+2
2
.
Ikki tekislikni kesishishidan xosil
bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi.
Faraz
qilaylik bizga ikkita tekislik o‘zining
umumiy
tenglamalari
bilan
berilgan
bo‘lsin:
A
1
x + V
1
y + S
1
z + D
1
= 0;
(8.1)
A
2
x + V
2
y + S
2
z + D
2
= 0,
(8.2)
xamda bu tekisliklar biri ikkinchisini kesib
o‘tsin. (8- rasm)
8-rasm.
Berilgan tekisliklar xosil qilgan
to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasini
tuzamiz. To‘g‘ri chiziqda yotuvchi biror
𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0
)
nuqtani topish uchun
𝑧 = 𝑧
0
qiymat beramiz, xosil bo‘lgan sistemadan
𝑥 = 𝑥
0
, 𝑦 = 𝑦
0
qiymatlarni
topamiz.
Bundan esa
l
to‘g‘ri chiziqda yotuvchi
𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0
)
topiladi. U xolda
l
to‘g‘ri
chiziq tenglamasini quyidagi ko‘rinishda
yozishimiz mumkin:
A
1
(x − 𝑥
0
) + V
1
(y − 𝑦
0
) + S
1
(z−𝑧
0
)
= 0;
A
2
(x − 𝑥
0
) + V
2
(y − 𝑦
0
) + S
2
(z−𝑧
0
)
= 0.
Bu yerdan quyidagilarni topamiz:
x − 𝑥
0
|
𝑉
1
𝑆
1
𝑉
2
𝑆
2
|
=
y − 𝑦
0
|
𝑆
1
𝐴
1
𝑆
2
𝐴
2
|
=
z−𝑧
0
|
𝐴
1
𝑉
1
𝐴
2
𝑉
2
|
= t,
yoki
x = 𝑥
0
+ |
𝑉
1
𝑆
1
𝑉
2
𝑆
2
| × t,
y = 𝑦
0
+ |
𝑆
1
𝐴
1
𝑆
2
𝐴
2
| × t,
(8.3)
z = 𝑧
0
+ |
𝐴
1
𝑉
1
𝐴
2
𝑉
2
| × t.
1-Misol.
To‘g‘ri
chiziqning
parametrik tenglamasi tuzilsin.
Universal International Scientific Journal
15
9
3x + 2y + 4z − 11 = 0
,
2x + y − 3z − 1 = 0
.
YEchish: Aytaylik ƶ = 0 bo‘lsin, u
holda:
3x + 2y − 11 = 0
,
2x + y − 1 = 0
.
Bu sistemani yechib,
𝑥
0
= −9, 𝑦
0
=
19
larni topamiz.
Demak,
𝑀
0
(−9,19,0)
-nuqta to‘g‘ri
chiziqda, yotuvchi nuqta bo‘ladi. To‘g‘ri
chiziqning yo‘naltiruvchi vektori
𝑎⃗= {|
2
4
1 −3
| , |
4
3
−3
2
| , |
3
2
2
1
|},
yoki
𝑎⃗= {−10,17, −1}
.
To‘g‘ri
chiziqning
parametrik
tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
x = −9 + 10 × t,
y = 19 + 17 × t,
𝑧 = −t.
Xulosa.
Ushbu maqolada fazoda
tekislik va to‘g‘ri chiziq tenglamalarining
analitik ko‘rinishlari, ularning turlari
hamda o‘zaro geometrik munosabatlari
tizimli ravishda o‘rganildi. Tekislikning
umumiy,
normal
va
nuqta-vektorli
ko‘rinishdagi tenglamalari bilan bir
qatorda, to‘g‘ri chiziqning parametrik va
vektorli ifodalari ham tahlil qilindi.
Shuningdek, fazodagi obyektlar orasidagi
kesishish shartlari, burchaklar, masofalar
va proyeksiyalarni aniqlash usullari ko‘rib
chiqildi.
Tadqiqot
natijalari
fazoviy
geometriya
masalalarining
nazariy
asoslarini chuqurlashtirish, shuningdek
ularni amaliyotda – jumladan, muhandislik
loyihalash,
kompyuter
grafikasi
va
fizikaviy
modellashtirish
sohalarida
qo‘llash imkoniyatlarini kengaytirishga
xizmat
qiladi.
Mazkur
yondashuvlar
kelajakda
yanada
murakkab
fazoviy
tuzilmalarni tahlil qilish uchun asos bo‘lib
xizmat qilishi mumkin.
.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO'YXATI
1.
Бахвалов С.В., Бабушкин Л.И., Иваницкая В.П. Аналитическая геометрия.
Изд. М. Просвещение – 1970 стр. 375.
2.
Artikbayev A., Geometriya (Planimetriya) Toshkent – 2024. 229-bet
3.
Narmanov A.Y., Analitik geometriya. Toshkent, 2008, 172-bet
4.
Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Комплекс задач из
аналитической геометрии. Тaшкент, 2006, 546-c.
5.
Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. Т. Ўқитувчи, 1983, 206-c
6.
Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
Санкт-Петербург-Москва, Изд. Лай, 2003г. стр. 336.
7.
Постников М.М., Аналитическая геометрия. М. Наука, 1979. Стр. 336
8.
Клетенин Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. М. Наука.
1998.
