ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
153
2181-3187
FUNKTSIYALARNI INTERPOLYATSIYALASH
A.I.Ismoilov amaliy matematika
va informatika kafedrasi
katta o'qituvchisi. fizika-matematika
fanlari bo'yicha falsafa
doktori(PhD)
Alimamadov Nurmuhammad Alimardon ug’li
fizika matematika
fakulteti amaliy matematika
yunalishi 3- bosqich talabasi
alimamadovnurmuhammad
02@gmail.com
Annotatsiya
Maqola funktsiyalarni interpolyatsiyalash masalasiga bag‘ishlangan bo‘lib, bu
jarayonning matematik asoslari va amaliy qo‘llanilishi haqida ma’lumot beradi.
Interpolyatsiya funktsiyaning berilgan nuqtalaridagi qiymatlariga asoslangan holda uni
yaqinlashtirish uchun ko‘pxadni topishdan iborat. Maqolada chekli ayirmalar
tushunchasi, ularning xossalari va N’yutonning birinchi va ikkinchi interpolyatsion
formulalari batafsil yoritilgan. Formulalar oldinga va orqaga qarab interpolyatsiyalash
uchun qo‘llaniladi, shuningdek, koldik xadlarning hisoblanishi va xatolikni baholash
usullari keltirilgan. Misollar orqali logarifmik funktsiya uchun interpolyatsiya jarayoni
ko‘rsatilgan. Maqola matematik hisoblashlarda funktsiyalarni soddalashtirish va aniq
qiymatlarni topishda interpolyatsiyaning ahamiyatini ta’kidlaydi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
154
2181-3187
Kalit so’zlar:
Interpolyatsiyalar, ayirma, chekli ayirma, yig’indi, n-tartibli
ayirma,
N’yutonning
interpolyatsion
formulalari,
interpolyatsiya
tugun,
interpolyatsiya kadami, chiziqli, parabolik, analitik ko`rinish, koldik xad, orkaga qarab
interpolyatsiyalash.
Kirish
MASALANING QO`YILISHI
Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo`yilishida katnashadigan funktsiyalarni
unga biror muayyan ma`noda yaqin va tuzilishi soddarok bo`lgan funktsiyalarga
almashtirish goyasiga asoslangan. Bu bobda funktsiyalarni yaqinlashtirish
masalasining eng sodda va juda keng qo`llaniladigan qismi — funktsiyalarni
interpolyatsiyalash ma-salasi kurib chikiladi.
Interpolyatsiya masalasining moxiyati quyidagidan iborat. Faraz kilaylik u=f(x}
funktsiya jadval ko`rinishida berilgan bo`lsin:
Y
0
= f(x
0
), y
1
= f(x
1
),…, y
n
= f(x
n
)
Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko`rinishda qo`yiladi: Shundai
n-tartiblidan oshmagan R(x) = R
n
(x) ko`pxad topish kerakki, P(x
i
) berilgan
x
i
(i=0,1,1,…,n) nuqtalarda f(x) bilan bir xil qiymatlarni qabul kilsin, ya`ni P(x
i
) = y
i
.
Bu masalaning geometrik ma`nosi quyidagidan iborat:
darajasi p dan ortmaydigan shunday
y = P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ … + a
n
(1)
ko`pxad kurilsinki, uning grafigi berilgan M
i
(x
i
, u
i
) (i = 0,1, … n) nuqtalardan
utsin (9-rasm). Bu erdagi x
i
(i=0,1,2,…n) nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki
tugunlar deyiladi. R(x) esa interpolyatsiyalovchi funktsiya deyiladi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
155
2181-3187
9- rasm
Amalda topilgan R(x) interpolyatsion formula f(x) funktsiyaning berilgan x
argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli) qiymatlarini hisoblash uchun
qo`llaniladi. Ushbu operatsiya f u n k t s i y a n i
i n t e r p o l y a t s i y a l a s h
deyiladi. (Agar x
(a,b) bo`lsa i n t e r p o l y a t s i y a l a s h x
(a,b) bo`lsa,
ek s t r a p o l y a t s i y a l a s h deyiladi).
CHEKLI AYIRMALAR VA ULARNING XOSSALARI
Faraz kilaylik argumentning o`zaro teng o`zoklikda joylashgan x
i
=x
0
+ih,
x
i
=
x
i+1
- x
i
= h = const (h-jadval kadami) qiymatlarida f(x) funktsiyaning moc ravishdagi
y
i
=f(x
i
) qiymatlari berilgan bo`lsin.
Birinchi tartibli chekli ayirmalar deb
y
i
=f(x
i+1
) - f(x
i
) = y
i+1
- y
i
(2)
ifodaga ikkinchi tartibli chekli ayirmalar deb
2
y
i
=
(
y
i
) =
y
i+1
-
y
i
= y
i+2
-2 y
i+1
+ y
i
(3)
ifodaga va xokazo n-tartibli chekli ayirmalar deb
n
y
i
=
(
n-1
y
i
) =
n-1
y
i+1
-
n-1
y
i
(4)
ifodaga aytiladi. CHekli ayirmalarni quyidagi 1- jadval ko`rinishida kam olish
mumkin.
1-jadval
x
0
y
M
n
M
0
M
1
y = P
n
(x)
x
0
x
1
x
2
x
n
y=f(x)
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
156
2181-3187
x
i
y
i
y
i
2
y
i
3
y
i
4
y
i
…
x
0
y
0
y
0
2
y
0
3
y
0
4
y
0
x
1
y
1
y
1
2
y
1
3
y
0
x
2
y
2
y
2
2
y
2
x
3
y
3
y
3
x
4
y
4
…
(2) dan quyidagiga egamiz
y
i+1
= y
1
+
y
i
= (1+
) y
i
(5)
Bu erdan ketma-ket quyidagilarni keltirib chikaramiz:
y
i+2
= (1+
)y
i+1
= (1+
)
2
y
i
,
y
i+3
= (1+
)y
i+2
= (1+
)
3
y
i
…..………………………..
y
i+n
= (1+
)
n
y
i
N’yuton binomi formulasidan foydalanib, quyidagiga ega bo`lamiz:
y
i+n
=y
i
+C
n
1
y
i
+ … +
n
y
i
Bundan esa:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
i
n
i
n
y
y
C
y
C
y
y
y
1
...
1
1
1
1
1
2
2
1
1
−
+
−
+
+
+
−
+
=
−
+
=
−
−
yoki
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
157
2181-3187
( )
i
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
y
y
C
y
C
y
y
1
...
2
2
1
1
1
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
+
(6)
Masalan, (4.6) dan
2
y
i
= y
i+2
-2y
i+1
+y
i
,
3
y
i
=y
i+3
-3y
i+2
+3y
i+1
-y
1
va x.k.
CHekli ayirmalar quyidagi x o s s a l a r g a ega.
1.Funktsiyalar yig’indisining (ayirmasining) chekli ayirmasi funktsiyalarning
chekli anirmalari yig’indisiga (ayirmasiga) teng:
n
(f(x)
(x))=
n
f(x)
n
(x).
2. Funktsiya o`zgarmas songa ko`paytirilsa, uning chekli ayirmasi usha songa
ko`payadi:
n
(k
f(x))=k
n
f(x).
3. n-tartibli chekli ayirmaning /p-tartibli chekli ayirmasi (p+t)- tartibli chekli
ayirmaga teng:
m
(
n
y)=
m+n
y.
4. n-tartibli ko`paddning p-tartibli chekli ayirmasi o`zgarmas songa, n+1-tartibli
chekli ayirmasi esa nolga teng.
Misol.
Jadval kadamini h=1 va dastlabki qiymatni x
o
= 0 deb xisoblab, u = 2x
3
-
2x
2
+ Zx - 1 ko`pxadning ayirmalar jadvali to`zilsin.
E c h i s h . u ning x
0
=0, x
1
=1, x
2
=2, x
3
=3 nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:
y
0
= -1, y
1
=2, y
2
= 13, y
3
= 44. Bundan esa quyidagilar kelib chikadi:
y
0
=y
1
-y
0
=3,
y
1
=y
2
-y
1
=11,
2
y
0
=
y
1
-
y
0
=8. Bu qiymatlarni 2- jadvalga joylashtiramiz:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
158
2181-3187
2-jadval
x
y
y
2
y
3
y
0
-1
8
1
2
11
8
12
2
13
31
20
12
3
44
63
32
12
4
107
107
44
5
214
…
…
…
…
…
Berilgan funktsiya Z- darajali kundad bo`lganligi sa-babli uning 3-tartibli
ayirmasi o`zgarmas son bo`lib,
3
y=12 bo`ladi. Jadvalning kolgan ustunlari
2
y
i+1
=
2
y
i
+12,
(i=0,1,2,…);
y
i+1
=
y
i
+
2
y
i
(i=1,2,…);
y
i
+
1
=y
i
+
y
i
(i=2,3,..)
formulalar yordamida to`ldiriladi.
N’YUTONNING 1- INTERPOLYATSION FORMULASI
Faraz kilaylik y=f(x) funktsiya uchun y
1
=f(x) qiymatlar berilgan va
interpolyatsiya tugunlari teng o`zoklikda joylashgan bo`lsin, ya`ni x
1
=x
0
+ih
(I=0,1,2,…,h) (h – interpolyatsiya kadami). Argumentning moc qiymatlarida darajasi
h dan oshmaydigan moc qiymatlar oladigan ko`pxad tuzish lozim bo`lsin va bu
ko`pxad kuiidagi ko`rinishga ega bo`lsin:
P
n
(x) = a
0
+a
1
(x-x
0
)+a
2
(x-x
0
) (x-x
1
)+…+a
n
(x-x
0
) (x-x
1
)…(x-x
n-1
). (7)
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
159
2181-3187
Bu n-tartibli ko`pxad. Interpolyatsiya masalasidagi shartga ko`ra R(x) ko`pxad x
0
,
x
1
, …, x
n
interpolyatsiya tugunlarida P
n
(x
0
)=y
0.
P
n
(x
1
)=y
1
, P
n
(x
2
)=y
2
,... P
n
(x
n
)=y
n
qiymatlarni qabul kiladi. x=x
0
deb tasavvur etsak, (7) formuladan y
0
=P
n
(x
0
)=a
0
, ya`ni
a
0
=y
0.
So`ngra x ga x
1
va x
2
larning qiymatlarini berib, ketma-ket quyidagiga ega
bo`lamiz:
y
1
=P
n
(x
1
)=a
0
+a
1
(x
1
-x
0
), bundan
h
у
а
0
1
=
y
2
=P
n
(x
2
)=a
0
+a
1
(x
2
-x)+a
2
(x
2
-x
0
)(x
2
-x
1
),
ya`ni
y
2
- 2
y
0
- y
0
=2h
2
a
2
yoki
y
2
-2y
1
+y
0
=2h
2
a
2
, bundan
2
0
2
2
!
2
h
y
a
=
Bu jarayonni davom ettirib, x=x
n
uchun kuiidagi ifodani hosil kilamiz:
n
n
n
h
n
y
a
!
0
=
Topilgan a
0
, a
1
, a
2
,…a
n
koeffitsientlarning qiymatlarini (7) formulaga kuysak,
( )
(
)
(
)(
)
(
) (
)
1
0
0
1
0
2
0
2
0
0
0
...
!
...
!
2
!
1
−
−
−
+
+
−
−
+
−
+
=
n
n
n
n
x
x
x
x
y
n
y
x
x
x
x
h
y
x
x
h
y
y
x
P
(4.8)
ko`rinishga ega bo`lamiz. Bu formulada
q
h
x
x
=
−
0
, ya`ni x = x
0
+hq belgilash
kiritilsa, u xolda
,
1
0
1
−
=
−
−
=
−
q
h
h
x
x
h
x
x
,
2
2
0
2
−
=
−
−
=
−
q
h
h
x
x
h
x
x
va x.k.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
160
2181-3187
Natijada N’yutonning 1- interpolyatsion formulasiga ega bo`lamiz:
( )
(
)
(
)
(
) (
)
0
0
2
0
0
0
!
1
...
1
...
!
2
1
y
n
n
q
q
q
y
q
q
y
q
y
qh
x
P
x
P
n
n
n
+
−
−
+
+
−
+
+
=
+
=
(9)
N’yutonning 1-interpolyatsion formulasini [a, b] ning boshlangich nuqtalarida
qo`llash qulay.
Agar p== 1 bo`lsa, u xolda P
1
(x)=y
0
+q
y
0
ko`rinishdagi chiziqli interpolyatsion
formulaga, p=2 bo`lganda esa
( )
(
)
0
2
0
0
2
2
1
y
q
q
y
q
y
x
P
−
+
+
=
ko`rinishdagi parabolik interpolyatsion formulaga ega bo`lamiz.
N’yutonning 1-formulasini oldinga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham
deyiladi.
(9) formulaning koldik, xadi
( )
(
) (
)
(
)
(
)
( )
1
1
!
1
...
1
+
+
+
−
−
=
n
n
n
f
n
n
q
q
q
h
x
P
(10)
bu erda
[x
0
, x
n
]
Funktsiyaning analitik ko`rinishi har doim ham ma`lum bulavermaydi. Bundai
xollarda chekli ayirmalar to`zilib,
(
)
( )
1
0
1
1
+
+
+
n
n
n
h
y
f
deb olinadi. U xolda N’yutonning birinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik
( ) (
) (
)
(
)
(
)
0
1
!
1
...
1
y
n
n
q
q
q
x
P
n
n
+
+
−
−
(11)
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
161
2181-3187
formula orqali topiladi.
Misol
. u=lgx funktsiyaning 4.3-jadvalda berilgan qiymatlaridan foydalanib,
uning x=1001 bo`lgan xoldagi qiymatini toping.
4.3-jadval
x
y
Δy
Δ
2
y
Δ
3
y
1000
3,0000000
43214
- 426
8
1010
3,0043214
42788
- 418
9
1020
3,0086002
42370
- 409
8
1030
3,0128372
41961
- 401
1040
3,0170333
41560
1050
3,0211893
Y e c h i s h . Chekli aiirmalar jadvalini to`zamiz. 3- jadvaldan ko`rinib turibdiki,
3-tartibli chekli ayirma o`zgarmas, shu sababli (9) formula uchun n=3 olish etarli:
( )
( )
(
)
(
)(
)
0
3
0
2
0
0
3
!
3
2
1
!
2
1
y
q
q
q
y
q
q
y
q
y
x
P
x
y
−
−
+
−
+
+
=
=
x=1001 uchun q = 0,1 (h=10). Shuning uchun
0004341
,
3
0000008
,
0
6
9
,
1
9
,
0
1
,
0
0000426
,
0
2
9
,
0
1
,
0
0043214
,
0
1
,
0
0000000
,
3
1001
lg
=
+
+
+
=
Endi koldik xadni baxolaymiz. (10) formulaga asosan n=3 bo`lganda quyidagiga
egamiz:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
162
2181-3187
( )
(
)(
)(
)
( )
( )
4
4
3
!
4
3
2
1
f
q
q
q
q
h
x
R
−
−
−
=
bu erda 1000<
<1030.
f(x) =lgx bo`lgani sababli
( )
( )
e
x
x
f
lg
!
3
4
4
−
=
; shuning uchun
( )
( )
(
)
e
f
lg
1000
!
3
4
4
.
h=10 va q=0,1 uchun quyidagiga ega bo`lamiz:
(
)
(
)
9
4
4
3
10
5
,
0
1000
4
lg
10
9
,
2
9
,
1
9
,
0
1
,
0
1001
−
=
e
R
Shunday kilib, koldik xad R
3
(1001)
0,5
10
-9
ekan.
N’YUTONNING 2 - INTERPOLYATSION FORMULASI
N’yutonning birinchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi
formulasi esa jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun muljallangan. N’yutonning
ikkinchi interpolyatsion formula-sini keltirib chikaramiz.
Faraz kilaylik y=f(x) funktsiyaning n+1 ta qiymati ma`lum bo`lsin; ya`ni
argumentning n=1 ta x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
qiymatlarida funktsiyaning qiymatlar y
0
, y
1
, y
2
,
…, y
n
bo`lsin. Tugunlar orasidagi masofa h o`zgarmas bo`lsin. Quyidagi ko`rinishdagi
interpolyatsion ko`pxadni ko`ramiz:
P
n
(x)=a
0
+a
1
(x-x
n
)+ a
2
(x-x
n
)(x-x
n
-1) + a
3
(x-x
n
)(x-x
n
-1)(x-x
n
-2)+ … +
+ a
n
(x-x
n
)(x-x
n-1
) … (x-x
1
)
(12)
Bunda katnashayotgan a
0
, a
1
, …, a
n
noma`lum koeffitsientlarni topishni x=x
n
bo`lgan xoldan boshlash kerak. So`ngra argumentga x
n-1
, x
n-2
, … qiymatlar berib,
kolgan koeffitsientlar animanadi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
163
2181-3187
Yuqorida kurilgan muloxazalarni (12) formula uchun ham qo`llasak, u xolda
noma`lum koeffitsientlar a
1
, a
2
, a
3
,…, a
n
larni topish uchun quyidagilarni hosil kilamiz:
n
n
n
n
n
n
h
n
y
a
h
y
a
h
y
a
y
a
!
...,
,
!
2
,
!
1
,
0
2
2
2
2
1
1
0
=
=
=
=
−
−
Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (12) formulaga kuysak,
( )
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
1
0
1
2
2
2
1
...
!
...
!
2
!
1
x
x
x
x
h
n
y
x
x
x
x
h
y
x
x
h
y
y
x
P
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
−
−
+
+
−
−
+
−
+
=
−
−
−
(13)
ko`rinishdagi N’yutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chikadi. Bu
formulada q=(x-x
n
)/h belgilash kiritsak,
( )
(
)
(
) (
)
0
2
2
1
!
1
...
1
...
!
2
1
y
n
n
q
q
q
y
q
q
y
q
y
x
P
n
n
n
n
n
−
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
(14)
hosil bo`ladi. Ba`zan bu formulani orkaga qarab interpolyatsiyalash formulasi
ham deyiladi. (14) formuladan [a,b] kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish
qulayrokdir.
N’yutonning ikkinchi interpolyatsion formulasining koldik xadini baxolash
formulasi quyidagicha bo`ladi:
( )
(
) (
)
(
)
(
)
( )
1
1
!
1
...
1
+
+
+
+
+
=
n
n
n
F
n
n
q
q
q
h
x
P
bu erda q=(x-x
n
)/h,
[x
0
, x
n
]
Agar funktsiyaning analitik ko`rinishi ma`lum bo`lmasa, u xolda chekli
ayirmalar to`zilib,
(
)
( )
1
0
1
1
+
+
+
n
n
n
h
y
f
deb olinadi. Shuning uchun N’yutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi
uchun xatolik formulasi
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
164
2181-3187
( ) (
) (
)
(
)
(
)
n
n
n
y
n
n
q
q
q
x
P
1
!
1
...
1
+
+
+
+
bo`ladi.
Misol.
u=lgx funktsiyaning 4-jadvalda bermlgan qiymatlaridan foydalanib, uning
x=1044 dagi qiymatini hisoblang (h=10).
4- jadval
X
y
1000
3,0000000
1010
3,0043214
1020
3,0086002
1030
3,0128372
1040
3,0170333
1050
3,0211893
Y e c h i s h . CHekli ayirmalar jadvalini to`zamiz:
5.-jadval
x
U
u
2
u
3
u
1000
3,0000000
73214
- 426
8
1010
3,0043214
42788
- 418
9
1020
3,0086002
42370
- 409
8
1030
3,0128372
41961
- 401
1040
3,0170333
41560
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
165
2181-3187
1050
3,0211893
x
n
=1050 bo`lsin, u xolda
6
.
0
10
1050
1044
−
=
−
=
−
=
h
x
x
q
n
5- jadvaldagi tagiga chizilgan ayirmalardan foydalangan xolda (14) formulaga
asosan quyidagiga ega bo`lamiz:
(
)
(
) (
)
(
) (
) (
)
0187005
,
3
0000008
,
0
6
2
6
,
0
1
6
,
0
6
,
0
0000401
,
0
2
1
6
,
0
6
,
0
0041560
,
0
6
,
0
0211893
,
3
1044
lg
=
+
−
+
−
−
+
+
−
−
+
−
+
=
Xulosa
Maqola funktsiyalarni interpolyatsiyalashning nazariy va amaliy jihatlarini
yoritadi. Interpolyatsiya masalasi funktsiyaning berilgan nuqtalaridagi qiymatlariga
asoslanib, uni ko‘pxad orqali yaqinlashtirishni o‘z ichiga oladi. Chekli ayirmalar va
ularning xossalari interpolyatsion formulalarni tuzishda asosiy vosita sifatida
ishlatiladi. N’yutonning birinchi va ikkinchi interpolyatsion formulalari mos ravishda
jadvalning boshida va oxirida qo‘llaniladi, bu esa turli xollarda qulaylik yaratadi.
Koldik xadlar va xatolikni baholash formulalari natijalarning aniqligini ta’minlaydi.
Misollar orqali ushbu usullarning amaliy qo‘llanilishi ko‘rsatilgan. Interpolyatsiya
matematik modellashtirish, injeneriya va boshqa sohalarda funktsiyalarni
soddalashtirish va hisoblashda muhim ahamiyatga ega.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Demidovich B.P., Maron I.A.
Hisoblash matematikasining asoslari
. –
Toshkent: O‘zbekiston, 1995.
2.
Kalitnitskiy V.A.
Matematik analiz va hisoblash usullari
. – Moskva:
Visshaya shkola, 1986.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
166
2181-3187
3.
Atkinson K.E.
An Introduction to Numerical Analysis
. – Wiley, 1989.
4.
Burden R.L., Faires J.D.
Numerical Analysis
. – Cengage Learning, 2010.
5.
Xoldashev A., Rahmonov B.
Matematik hisoblash usullari
. – Toshkent:
Universitet, 2008.
