ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
363
2181-3187
EYTKENNING
2
JARAYONI VA UNING KONVERGENSIYANI
TEZLASHTIRISHDAGI ROLІ
A.I.Ismoilov
amaliy matematika va informatika
kafedrasi katta o'qituvchisi
fizika-matematika fanlari
bo'yicha falsafa doktori(PhD)
E:
Sotvoldiyeva Zarnigor
Amaliy matematika yo’nalishi
22.08-guruh talabasi
E:
zarnigorrasuljonova@gmail.com
Annotatsiya
Ushbu maqolada A. Eytken tomonidan taklif etilgan iteratsion jarayonni
tezlashtirish metodi – Eytken metodi keng yoritilgan. Maqolada metodning nazariy
asosi, matematik isboti, konvergensiya tartibi va amaliy qo‘llanilishi ko‘rib chiqiladi.
Eytkenning
2
jarayoni yordamida oddiy iteratsion usullarning yaqinlashuvini qanday
qilib sezilarli darajada tezlashtirish mumkinligi tushuntiriladi. Hayotiy misol orqali
metodning afzalliklari amalda ko‘rsatib berilgan. Maqola talabalar, matematiklar,
muhandislar va sonli usullar bilan ishlovchi mutaxassislar uchun foydali manba bo‘lib
xizmat qiladi.
Kalit so‘zlar:
Eytken metodi, iteratsion jarayon,
2
protsedura, konvergensiyani
tezlashtirish, sonli usullar, fiksatsiyalangan nuqta, matematik analiz, iteratsiya tartibi,
hisoblash usuli, ildiz topish.
Kirish
A.Eytken 1937-yilda xos son va xos vektorlarni topishdagi iteratsion jarayonni
yaxshilash metodini taklif qilgan edi. Umuman olganda Eytken metodini har qanday
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
364
2181-3187
iteratsion protsesga ham qo’llash mumkin. Biz hozir ana shu metodni ko’rib chiqamiz.
Faraz qilaylik, bizga
x
=
ga yaqinlashuvchi
p
-tartibli jarayon
1
(
)
n
n
x
x
−
=
berilgan bo’lsin.
x
funksiya yordamida
2
( ( ))
( )
( )
2 ( )
( ( ))
x
x
x
x
x
x
x
−
=
−
+
funksiyani tuzamiz.
Agar
'
( )
1
va
1
p
=
bo’lsa , u holda
1
( )
n
n
x
x
+
=
Iteratsion jarayonning tartibi 2 dan kichik bo’lmaydi,
1
p
bo’lganda esa
2
1
p
−
da kichik bo’lmaydi. Bu tasdiqlarni isbot qilamiz. Umumiylikka zarar yetkazmasdan ,
0
=
deb olishimiz mumkin. Agar
0
bo’lsa,
, ( )
(
)
( )
x
z
x
z
z
= +
− =
+ − =
belgilashlarni kiritamiz. U holda
( )
x
x
=
tenglama
( )
z
z
=
tenglamaga o’tadi,
( )
z
uchun qurilgan funksiya
2
2
2
2
( ( ))
( )
(
) ( ( )
) ( ( )
)
( )
2 ( )
( ( ))
2( ( )
)
( ( )
)
(
)[ ( ( ))
] ( ( )
)
2( ( )
)
( ))
( ( ))
( )
[
2 ( )
( ( ))]
( )
2 ( )
( ( ))
z
z
z
x
x
x
z
z
z
z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
− −
−
=
=
=
−
+
− −
− +
−
−
− −
−
=
=
− −
− +
−
−
−
−
+
=
=
−
−
+
ga o’tadi. Demak,
0
=
deb olishimiz mumkin.,
1
(
)
n
n
x
x
−
=
p-tartibli iteratsiya
bo’lganligi uchun
( )
x
ning
0
x
=
nuqta atrofidagi yoyilmasi quyidagi
1
1
( )
...
p
p
p
p
x
a x
a
x
+
+
=
+
+
ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yoyilmani yuqoridagi tenglikka qo’ysak,
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
[
(
...)
...] (
...)
( )
2(
...) [
(
...)
...]
(
...) (
2
...)
2
2
...
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
x a a x
a
x
a x
a
x
x
x
a x
a
x
a a x
a
x
x a
x
a x
a a
x
x
a x
a
x
a
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
=
=
−
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
+
−
+
hosil bo’ladi. Bu ifodani
1
p
=
va
1
p
hollar uchun alohida-alohida tekshiramiz.
Agar v bo’lsa, u holda
( )
x
ning suratida
x
ning darajasi uchdan kichik emas( chunki
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
365
2181-3187
ikkinchi darajali hadlari o’zaro bir-birlarini yo’qotishadi), mahrajida esa
x
oldidagi
koeffitsiyent
2
2
'
2
1
1
1 2
1 2
(1
(0))
0
p
p
a
a
a
a
−
+
= −
+
= −
Demak, mahrajda
x
ning birinchi darajasi mavjud va
( )
x
ning darajali
qatordagi yoyilmasi hech bo’lmaganda
2
x
dan boshlanadi. Shuning uchun ham
'
( )
0
=
va iteratsiyaning tartibi ikkidan kichik emas.
Agar
1
p
bo’lsa, yuqoridagi tenglikning suratida
x
ning eng kichik darajasi
2
p
ga teng bo’lib, mahrajda
x
ning birinchi darajasi qatnashadi. Demak,
( )
x
ning
darajali qatordagi yoyilmasi hech bo’lmaganda
2
1
p
x
−
dan boshlanadi. Ya’ni hech
bo’lmaganda
1, 2,..., 2
2
j
p
=
−
lar uchun
( )
0
=
. Bu esa iteratsiyaning tartibi hech
bo’lmaganda
2
1
p
−
ga teng ekanligini ko’rsatadi.
1-izoh.
Agar dastlabki yaqinlashish
0
x
ga har qancha yaqin bo’lganda ham,
( )
x
bilan aniqlangan iteratsiya yaqinlashmasa ham iteratsiya ,
0
x
ga yetarlicha yaqin
bo’lganda yaqinlashadi. Chunki,
'
( )
0
=
bo’lganligi uchun
x
=
ning shunday atrofi
topiladiki, u yerda
''
( )
1
q
bo’ladi. Bu esa
0
x
shu atrofdan olingan bo’lsa,
1
(
)
n
n
x
x
−
=
iteratsiyaning yaqinlashishi uchun yetarli shartdir.
2-izoh.
Tenglik bilan aniqlangan
( )
x
ning oshkor ko’rinishi ma’lum
bo’lmasa ham formula bilan iteratsiyani qurish mumkin. Buni quyidagi usul bilan
bajarish mumkin.
0
x
dan boshlab avvalo
1
0
( )
x
x
=
va
2
1
( )
x
x
=
quriladi, keyin esa
3
x
ni
2
0
2
1
3
0
1
2
2
x x
x
x
x
x
x
−
=
−
+
formula yordamida aniqlaymiz.
Agar
2
1
2
1
,
2
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
−
=
−
+
deb belgilab olsak,
3
x
ni quyidagicha
yozishimiz ham mumkin:
2
0
3
0
2
0
(
)
x
x
x
x
=
−
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
366
2181-3187
Navbatdagi iteratsiyalarni
4
3
( )
x
x
=
,
5
4
( )
x
x
=
,
2
3
6
5
2
3
(
)
x
x
x
x
= −
formulalar yordamida quramiz va hokazo.
Shunday qilib, biz quyidagi iteratsion jarayonga ega bo’lamiz:
3 1
3
3
2
3 1
2
3
3
3
3
2
(
)
(
)(
0,1, 2,...)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
i
x
x
x
x
+
+
+
+
=
=
=
=
−
Oxirgi formulaning ko’rinishiga qarab, odatda Eytken metodi Eytkenning
2
i
-
jarayoni deyiladi.
HAYOTIY MASALA (EYTKEN METODIGA ASOSLANGAN)
Masala:
Bir muhandis issiqlik almashinish tizimini loyihalamoqda. U, haroratni
muayyan vaqtdan keyin qancha bo‘lishini bashorat qilish uchun quyidagi tenglama
asosida hisoblash olib boradi:
cos(x)
x
=
Bu tenglama tizimning barqaror harorat holatini ifodalaydi. Muhandis bu
tenglamaning ildizini topib, aniq harorat qiymatini bilmoqchi.
U dastlab oddiy iteratsion usuldan foydalanadi va boshlang‘ich nuqta sifatida
0
x
0.5
=
ni tanlaydi. Biroq u natijaning sekin yaqinlashayotganini sezadi. Shuning uchun
u hisoblash jarayonini tezlashtirish uchun Eytken metodidan foydalanishga qaror
qiladi.
Bu tenglama
( )
cos(x)
f x
=
bilan berilgan iteratsion formulani anglatadi:
1
x
cos(x )
n
n
+
=
1.
Boshlang’ich
0
x
0.5
=
nuqtani olamiz va iteratsiyalarni bajaramiz.
1
2
cos(0.5)
0.8776
x
cos(0.8776)
0.639
x
=
=
2.
Eytken formulasini qo’llaymiz
Eytken
2
formulasi:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
367
2181-3187
2
1
0
0
0
2
1
0
(x
x )
2
x
x
x
x
x
−
=
−
−
+
Qiymatlarni qo’yamiz:
2
2
0
(0.8776 0.5)
(0.3776)
0.1425
0.5
0.5
0.5
0.5 0.2312
0.7312
0.639 2 0.8776 0.5
0.639 1.7552 0.5
0.6162
x
−
=
−
=
−
=
−
+
=
−
+
−
+
−
3.
Yangi yaqinlashgan qiymat
Demak, odatiy iteratsiya orqali 3 bosqichdan so’ng:
2
0.639
x
Lekin Eytken metodi yordamida:
0.7312
x
=
Bu ancha tez yaqinlashgan qiymatdir.
Xulosa
Ushbu maqolada Eytken metodi — iteratsion jarayonlarni tezlashtirishga
mo‘ljallangan samarali yondashuv sifatida atroflicha tahlil qilindi. Metodning
matematik asosi, konvergensiya tartibi va umumiy iteratsion jarayonlarga qo‘llanishi
bayon qilindi. Shuningdek, oddiy iteratsiya bilan Eytken metodini solishtiruvchi
amaliy misol orqali bu metodning afzalliklari aniq ko‘rsatildi. Natijalar shuni
ko‘rsatadiki, Eytkenning Δ2\Delta^2Δ2 protsedurasi yordamida hisoblash natijalari
sezilarli darajada tezroq aniqlikka erishadi. Bu metod, ayniqsa ildiz topish yoki xos
qiymatlarni hisoblash kabi jarayonlarda juda foydalidir. Shu sababli Eytken metodi
matematik hisoblashlar, muhandislik masalalari va dasturlashdagi iteratsion
algoritmlarni optimallashtirish uchun muhim vosita hisoblanadi.
Adabiyotlar
1.
Eitken, A.C. (1937).
On Bernoulli's numerical solution of algebraic equations
.
Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 57, 269–304.
2.
Burden, R.L., & Faires, J.D. (2011).
Numerical Analysis
(9th ed.).
Brooks/Cole, Cengage Learning.
3.
Kincaid, D., & Cheney, W. (2002).
Numerical Analysis: Mathematics of
Scientific Computing
. American Mathematical Society.
4.
Atkinson, K.E. (1989).
An Introduction to Numerical Analysis
(2nd ed.). Wiley.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
368
2181-3187
5.
Исраилов М.И. (1985).
Численные методы
. Ташкент: Фан.
6.
Хомидов Ж.Ж. (2003).
Sonli usullar
. Toshkent: O‘zbekiston Respublikasi
Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi.
