ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
355
2181-3187
VATARLAR METODI
A.I.Ismoilov
FarDU,Amaliy matematika va informatika
kafedrasi katta o'qituvchisi.
Fizika-matematika fanlari bo'yicha falsafa doktori(PhD)
E-mail:
ismoilovaxrorjon@yandex.com
Usmonaliyev Ulug‘bek Ismoiljon o‘g‘li
Farg‘ona Davlat Universiteti Amaliy
matematika yo‘nalishi 3-kurs talabasi 22-08-guruh talabasi
Annotatsiya:
Mazkur maqolada tenglamalarning ildizlarini sonli yechish
usullaridan biri bo‘lgan vatarlar metodi tahlil qilinadi. Ushbu usul Nyuton metodiga
o‘xshash bo‘lsa-da, hosiladan foydalanmasdan, ikki nuqta orasida vatar chizish orqali
ildizga yaqinlashishni ta'minlaydi. Vatarlar metodining algoritmi, ustun va
kamchiliklari, va amaliy misollar asosida uning qo‘llanishi yoritiladi. Excel dasturiy
ta'minoti yordamida usulni avtomatlashtirish imkoniyati ham ko‘rib chiqiladi.
Kalit so‘zlar:
vatarlar metodi, sonli usullar, ildizni topish, iteratsiya, Excel,
Nyuton metodi alternativasi
Abstract:
This article analyzes the secant method, one of the numerical
techniques for solving equations. Although similar to the Newton method, it
approaches the root by drawing a secant line between two points, eliminating the need
for derivatives. The article explores the algorithm, advantages, limitations, and
application of the secant method with practical examples. It also demonstrates the
possibility of automating the method using Microsoft Excel.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
356
2181-3187
Keywords:
ecant method, numerical methods, root finding, iteration, Excel,
Newton method alternative
Аннотация:
В данной статье рассматривается метод хорд — один из
численных методов нахождения корней уравнений. Несмотря на схожесть с
методом Ньютона, он не требует вычисления производных и использует
секущую между двумя точками для приближения к корню. Описывается
алгоритм, преимущества и недостатки метода, а также его применение на
практике. Также рассматривается возможность автоматизации метода с
использованием Excel.
Ключевые слова:
метод хорд, численные методы, нахождение корня,
итерация, Excel, альтернатива методу Ньютона
Kirish
Ko‘pincha insonlar hayotda muammoning aniq javobini bilmasdan, uni yaqin ikki
taxmin asosida izlashga majbur bo‘lishadi. Masalan, siz xaritada aniq joylashuvini
bilmagan manzilni topmoqchisiz, lekin bu manzilga yaqin bo‘lgan ikkita tanish
nuqtangiz bor. Siz ularning orasida chiziq (vatar) chizib, taxminiy joyni aniqlaysiz va
bu taxminni keyinchalik yana ikki yangi nuqta orqali aniqlashtirib borasiz. Bu jarayon
real hayotda qaror qabul qilish, muammoni hal qilish yoki optimallashtirishda keng
qo‘llaniladi.
Matematikada ham shunga o‘xshash holatlar mavjud. Masalan, murakkab
tenglamalarning aniq analitik yechimini topish imkoni bo‘lmaganda, taxminiy
yechimni izlashga to‘g‘ri keladi. Bunday vaziyatda
sonli usullar
yordamga keladi,
xususan,
vatarlar metodi
(secant method) shular jumlasidan biridir. Bu usul ikkita
taxminiy nuqta asosida ildizga yaqinlashishni ta’minlaydi va Nyuton metodidan farqli
ravishda funksiyaning hosilasini talab qilmaydi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
357
2181-3187
Mazkur maqolada vatarlar metodining algoritmi, ishlash printsipi, ustunlik va
kamchiliklari tahlil qilinadi. Shuningdek, amaliy masalalar orqali uning qanday
qo‘llanilishi va Excel dasturida avtomatlashtirish imkoniyatlari yoritiladi. Vatarlar
metodi — nafaqat matematik, balki real hayotdagi muammolarni hal qilishda ham
mantiqiy asosga ega bo‘lgan qulay vositadir.
Nyuton metodidagi hisoblashlarni soddalashtirishning yana bir usulini ko’ramiz.
Nyuton metodida mehnatning asosiy qismi
(
)
n
f x
va
'
(
)
n
f x
larni hisoblash uchun
sarflanadi. Shularning birontasi, masalan,
'
(
)
n
f x
ni hisoblashdan qutilish mumkin
emasmikin degan savol tug’iladi. Bu bizni
vatarlar usuli
ga olib keladi, ya’ni agar
'
(
)
n
f x
ni taqribiy ravishda almashtirsak:
'
1
1
(
)
(
)
(
)
,
n
n
n
n
n
f x
f x
f x
x
x
−
−
−
−
u holda navbatdagi yaqinlashishni topish qoidasi quyidagicha bo’ladi:
1
1
1
( )(
)
.
( )
(
)
n
n
n
n
n
n
n
f x
x
x
x
x
f x
f x
−
+
−
−
=
−
−
(1)
Bu qoidaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat:
( )
y
f x
=
funksiyaning
grafigida ikkita
1
1
1
[
, (
)]
n
n
n
M
x
f x
−
−
−
va
[ , ( )]
n
n
n
M x
f x
nuqtalardan vatar o’tkazamiz. Vatar
tenglamasi esa quyidagicha:
1
1
( )
.
( )
(
)
n
n
n
n
n
n
x
x
y
f x
x
x
f x
f x
−
−
−
−
=
−
−
Agar bu vatarning
OX
o’qi bilan kesishgan nuqtasini deb olsak, (1) qoida kelib
chiqadi.
Vatarlar metodi ikki qadamli metod bo’lib
1
n
x
+
ni topish uchun
1
n
x
−
va
n
x
ni
bilishimiz kerak.(1) qoidani qo’llash uchun:
1)
barcha
n
x
lar
( )
f x
ning aniqlanish sohasida yotishi va
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
358
2181-3187
2)
1
( )
(
)
0
n
n
f x
f x
−
−
(
1, 2,...)
n
=
shartlar bajarilishi kerak.
Avval
1
(
)
(
)
0
(
1,
1)
k
k
f x
f x
k
n
−
−
=
−
bo’lgan holni ko’rib chiqaylik, bu yerda ikki hol bo’lishi
mumkin:a)
1
n
n
x
x
−
va b)
1
n
n
x
x
−
=
.
Agar
1
n
n
x
x
−
bo’lsa,
1
1
2
1
1
2
(
)(
)
.
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
f x
x
x
x
x
f x
f x
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
(2)
tenglikdan
1
(
)
0
n
f x
−
ligini ko’ramiz. Shuning uchun ham
(
)
0
n
f x
va navbatdagi
1
1
1
( )(
)
.
( )
(
)
n
n
n
n
n
n
n
f x
x
x
x
x
f x
f x
−
+
−
−
=
−
−
Yaqinlashishni ko’rish mumkin bo’lmaydi. Protsess shu yerda uziladi va
yechimga olib kelmaydi.
Agar
1
n
n
x
x
−
=
bo’lsa,
0
,
x
1
,
x
… ,
1
,
n
x
−
n
x
larni ko’rish mumkin,
0
1
1
,
,...,
n
x x
x
−
lar
o’zaro farqli va
1
( )
(
)
0
k
k
f x
f x
−
−
(
1,
1)
k
n
=
−
deb hisoblaymiz. (2) tenglikdan
ko’ramizki,
1
(
)
0
n
f x
−
=
va
1
n
x
−
berilgan tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi.
Bu holda ketma-ket yaqinlashishlarni
n
x
gacha bajarish mumkin, shu bilan birga ikkita
ustma-ust tushadigan
1
n
x
−
va
n
x
qiymatlar berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi. Ildiz
ratsional son bo’lganda, shunday hol bo’lishi mumkin.
Endi biz yuqoridagi 1), 2) shartlar bajarilgan deb faraz qilib, vatarlar metodining
yaqinlashishiga to’xtab o’tamiz. Xato
n
n
x
= −
uchun (1) dan
1
1
1
(
) (
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
f
f
f
−
+
−
−
−
=
+
−
−
−
munosabatni chiqaramiz. Agar biz bu yerda
(
)
n
f
−
va
1
(
)
n
f
−
−
larning xatolar
darajalariga nisbatan yoyilmalari
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
359
2181-3187
'
''
2
1
(
)
( )
( )
...,
2
n
n
n
f
f
f
−
= −
+
+
'
''
2
1
1
1
1
(
)
( )
( )
...
2
n
n
n
f
f
f
−
−
−
−
= −
+
+
ni qo’yib, tegishli amallarni bajarsak, quyidagi taqribiy
''
1
1
'
1
( )
2
( )
n
n
n
f
f
+
−
−
(3)
tenglikka ega bo’lamiz. Agar bu tenglikni Nyuton metodi uchun chiqarilgan
''
2
1
'
1
( )
2
( )
n
n
f
f
+
−
tenglik bilan solishtirsak, vatarlar metodida xatoning o’zgarish qonuni
Nyuton qoidasidagi qonunga yaqinligini ko’ramiz.
Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremaga o’xshash quyidagi
teorema ham o’rinlidir.
Teorema.
Agar
( )
f x
funksiya va dastlabki yaqinlashish
0
x
1-teorema shartlarini
qanoatlantirsa va bundan tashqari
1
x
uchun
1
0
1
1 2
*
h
x
x
t
h
−
−
−
=
va
1
1
0
1
( )
(
)
( )
f x
P x
x
P t
−
=
tengsizlik bajarilsa, u holda:
1)
(1) qoida bilan aniqlangan
n
x
yaqinlashishlar chekli qadamdan
keyin yechimga olib keladi, yoki
n
x
larni barcha
n
lar uchun ko’rish mumkin
bo’lib, ular yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tashkil etadi
lim
;
n
n
x
→
=
2)
limitdagi qiymat
( )
0
f x
=
tenglamaning yechimi bo’ladi;
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
360
2181-3187
3)
yaqinlashish tezligi
*
n
n
x
t
t
−
−
tengsizlik bilan baholanadi, bu
yerda
n
t
2
( )
0
2
K
t
P t
t
B
B
=
− + =
tenglamaning kichik ildizi uchun
0
0
t
=
va
1
1
0
t
x
x
=
−
dan boshlab vatarlar usuli bilan ko’rilgan ketma-ket
yaqinlashishlardir.
Misol.
Tasavvur qiling, siz biror texnologik qurilma (masalan, robot qo‘l yoki dron)
uchun
aniq masofa
o‘lchovini aniqlashingiz kerak. Qurilmada lazer sensori mavjud
va siz undan kelayotgan signal kuchiga (masofa bilan bog‘liq) qarab, bu qurilma
obyektdan
qaysi masofada to‘xtashi kerakligini
aniqlashga harakat qilmoqdasiz.
Ammo siz signal kuchining to‘liq fizik formulasi bilan ishlashni emas, balki
eksperiment orqali topilgan qiymatlar asosida
taxminan nolga teng nuqtani (ya’ni
optimal masofani)
topmoqchisiz.
Ushbu vaziyat matematik ko‘rinishda quyidagicha ifodalanishi mumkin:
2
( )
2
f x
x
=
−
Bu yerda
( )
f x
— qurilmaning obyektdan
x
metr uzoqlikda bo‘lganidagi
signal kuchi bilan bog‘liq ifoda bo‘lib, nolga yaqinlashish optimal masofani
bildiradi.
Yechish.
Biz yuqorida ko’rgan edikki, izlayotgan ildiz
(
2; 2)
−
oraliqda
yotadi
Boshlang‘ich taxminlar:
•
0
1
x
=
(signal juda kuchli, yaqin)
•
1
2
x
=
(signal kuchsiz, uzoqroq)
Quyidagi iteratsion formula asosida yangi nuqta topiladi:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
361
2181-3187
1
1
1
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
f x
f x
f x
−
+
−
−
=
−
−
2
1
0
2
1
1
2
2
1
0
(2
2)(2 1)
2*1
2
( )
2
2
2
1.333
( )
( )
(2
2) (1
2)
2 ( 1)
3
x
x
x
x
f x
f x
f x
−
−
−
= −
= −
= −
= − =
−
− −
−
− −
Demak, qurilma taxminan
1.333 metr
uzoqlikda to‘xtashi kerakligi a
niqlanadi.
Yakuniy Xulosa
Vatarlar metodi — bu murakkab matematik tenglamalarni yechish uchun
samarali va kuchli
sonli usul
bo‘lib, u ikkita yaqin taxmin nuqtasi orqali ildizga
yaqinlashishni ta’minlaydi. Ushbu metod, Nyuton metodiga nisbatan hosilalarni
hisoblash zaruriyatidan xoli bo‘lib, matematik modellarni yechishda, shuningdek,
amaliy muammolarni hal qilishda keng qo‘llaniladi.
Maqolada vatarlar metodining algoritmi, uning ishlash printsipi, ustunliklari
va cheklovlari tahlil qilindi. Shuningdek,
Excel
dasturi yordamida ushbu metodni
qanday avtomatlashtirish mumkinligi ko‘rsatilgan. Amaliy misol sifatida vatarlar
metodining
kvadrat tenglamalar
misolida qo‘llanishi tahlil etildi, bu esa
metodning oddiydan murakkabroq muammolargacha qo‘llanilish imkoniyatlarini
namoyish etdi.
Metodning asosiy afzalligi shundaki, u matematik tenglamalarni tez va
samarali yechish imkonini beradi, ayniqsa, hosilalar yordamida yechim olish qiyin
bo‘lishi mumkin bo‘lgan vaziyatlarda. Biroq, metodning samaradorligi va aniqligi
to‘g‘ri boshlang‘ich taxminlarga bog‘liq bo‘lib, bu esa uning cheklovlarini tashkil
etadi. Shu bilan birga, vatarlar metodi, ya’ni ikki nuqta yordamida ildizga
yaqinlashish usuli, ilm-fan va muhandislikda o‘zining amaliy ahamiyatini yanada
oshiradi.
Foydalanilgan Adabiyotlar
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–1_ Мая –2025
362
2181-3187
1.
Burden, R. L., & Faires, J. D.
(2011).
Numerical Analysis
(9th ed.). Cengage
Learning.
Ushbu manba sonli usullarni umumiy tahlil qiladi va vatarlar metodining algoritmik
asoslarini tushuntiradi.
2.
Chapra, S. C., & Canale, R. P.
(2010).
Numerical Methods for Engineers
(6th
ed.).
McGraw-Hill.
Bu kitobda muhandislik ilmlarida ishlatiladigan sonli usullar, jumladan vatarlar metodi
haqida batafsil ma'lumot berilgan.
3.
Keller, H. B.
(1978).
Numerical Methods for Solving Nonlinear Equations
.
SIAM
Review,
20(4),
503-544.
Bu maqola sonli usullar va nonlineer tenglamalar yechimi bilan bog‘liq masalalarni
ko‘rib chiqadi.
4.
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P.
(2007).
Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
(3rd ed.). Cambridge University
Press.
Ushbu manba ilmiy hisoblashda foydalaniladigan metodlar, shu jumladan vatarlar
metodining kodlash va amaliy qo‘llanilishi haqida batafsil ma'lumot beradi.
5.
Atkinson, K. E.
(1989).
An Introduction to Numerical Analysis
. Wiley.
Atkinsonning kitobi sonli analizning asosiy tushunchalari va usullarini, shu jumladan
vatarlar metodini kengroq tushuntiradi.
