ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
189
2181-3187
FUNKTSIYALARNI INTERPOLYATSIYALASH. LAGRANJNING
INTERPOLYATSION FORMULASI. EKSTRAPOLYATSIYA
A.I.Ismoilov
FarDU,Amaliy matematika va informatika
kafedrasi katta o'qituvchisi,
Fizika-matematika
fanlari bo'yicha falsafa doktori(PhD)
Habibjonov Behruz Bahodur zoda
Farg‘ona Davlat Universiteti
Amaliy matematika yo‘nalishi
3-kurs talabasi 22-08-guruh talabasi
Annotatsiya
: Mazkur maqolada funksiyalarni interpolyatsiyalash usullaridan biri
— Lagranjning interpolyatsion formulasi keng yoritilgan. Interpolyatsiyaning
mohiyati, fundamental ko‘pxadlar, interpolyatsiya ko‘pxadining umumiy tuzilmasi, va
bu ko‘pxadlar orqali berilgan nuqtalar to‘plamida funksiyani aniqlash usullari
bosqichma-bosqich tushuntiriladi.
Shuningdek:
1.
Interpolyatsiya qoldiq xadi va uning baholanishi bo‘yicha teorema
bayon etiladi.
2.
Ekstrapolyatsiya — ya’ni jadvaldagi qiymatlardan tashqarida
funksiyaning qiymatini aniqlash muammosi va uning yechish usullari ko‘rib
chiqiladi.
3.
Teskari interpolyatsiya — funksiyaning ma’lum qiymatiga mos
argumentni aniqlash yo‘llari tahlil qilinadi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
190
2181-3187
Maqola oxirida Lagranj va Nyuton interpolyatsion formulalari taqqoslanadi va
ularning qo‘llanilish imkoniyatlari yoritiladi. Misollar orqali har bir metodning amaliy
qo‘llanilishi izohlanadi.Maqola matematika yo‘nalishidagi talabalar uchun
mo‘ljallangan bo‘lib, hisoblash matematikasining amaliy jihatlarini o‘rganishda qo‘l
kel
adi.
Kalit so’zlar:
Interpolyatsiya, interpolyatsion formula, interpolyatsiya tuguni,
tizm, tizim determinanti, oshkor ko`rinish, fundamental ko`pxad, interpolyatsion
ko`pxad, Lagranj ko`pxadi, interpolyatsiya koldik xadi, ektrapolyatsiya, teskari
interpolyatsiya.
Kirish
LAGRANJNING INTERPOLYATSION FORMULASI
Topilishi lozim bo`lgan ko`pxadning ko`rinishini quyidagicha olaylik:
L
n
(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
bu erda a
i
(i =0,1,2, ..., p)
—
noma`lum o`zgarmas koeffitsientlar. Shartga ko`ra
L
n
(x) funktsiya x
0
, x
1
, …, x
n
interpolyatsiyalash tugunlarida qiymatlarga erishadi. Buni
hisobga olgan xoldan quyida-gilarni topish mumkin:
x
0
interpolyatsiya tugunida
L
n
(x
1
) = a
0
+ a
1
x
1
+ a
2
x
1
2
+ … + a
n
x
1
n
va nixoyat x
n
interpolyatsiya tugunida
L
n
(x
n
) = a
0
+ a
1
x
n
+ a
2
x
n
2
+ … + a
n
x
n
n
Ushbu ifodalarni tenglamalar tizimi ko`rinishida yozsak:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
191
2181-3187
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
x
a
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
x
a
a
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
2
2
1
0
1
1
2
1
2
1
1
0
0
0
2
0
2
0
1
0
bu erda x
i
va y
i
(1=0,1,2, ...,
p)
–
berilgan funktsiyaning jadval qiymatlari. Bu
tizimning determinanti
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
х
x
x
x
х
x
x
x
х
...
1
...
...
...
....
...
...
1
...
1
3
2
1
3
1
2
1
1
0
3
0
2
0
0
x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
tugunlar ustma-ust tushmagan xolda noldan farqli bo`ladi. Masala
mazmunidan ravshanki, x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
nuqtalar bir-biridan farqli, demak bu
determinant noldan farqlidir. Shuning uchun ham tizim va shu bilan birga qo`yilgan
interpolyatsiya masalasi yagona echimga ega. Bu tizimni echib, a
0
, a
1
, …, a
n
larni topib
(4.15) ga kuysak, L
n
(x)
ko`pxad aniqlanadi. Biz L
n
(x) ning oshkor ko`rinishini topish
uchun boshqacha yo`l tutamiz. Avvalo fundamental ko`pxadlar deb ataluvchi Q
i
(x)
larni, ya`ni
( )
=
=
булганда
j
i
агар
булганда
j
i
агар
x
Q
ij
j
i
,
1
,
0
shartlarni kanoatlantiradigan n-darajali ko`pxadlarni ko`ramiz.
( )
( )
=
=
n
i
i
i
n
x
Q
y
x
L
0
izlanayotgan interpolyatsion ko`pxad bo`ladi. Shartni kanoatlantiruvchi ko`pxad
( )
(
)(
) (
)(
) (
)
(
)(
) (
)(
) (
)
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Q
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
−
+
−
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
0
1
1
1
0
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
192
2181-3187
ko`rinishida bo`ladi.
( )
(
)(
) (
)(
) (
)
(
)(
) (
)(
) (
)
i
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
n
i
n
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
−
+
−
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
0
1
1
1
0
0
ko`rinishdagi Lagranj interpolyatsion formulasiga ega bo`lamiz.
Bu formulaning xususii xollarini ko`raylik:
n=1 bo`lganda Lagranj ko`pxadi ikki nuqtadan utuvchi to`g’ri chiziq tenglamasini
beradi:
( )
1
1
0
0
0
0
1
1
1
y
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
L
−
−
+
−
−
=
Agar
p
=2 bo`lsa, u xolda kvadratik interpolyatsion ko`pxadga ega bo`lamiz, bu
ko`pxad uchta nuqtadan utuvchi va xertikal ukka ega bo`lgan parabolani aniqlaydi:
( )
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
1
2
0
2
1
0
1
2
1
0
1
2
0
0
2
0
1
0
2
1
2
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
=
Lagranj interpolyatsion formulasining boshqa ko`rinishini keltiramiz. Buning uchun
( )
(
)
=
+
−
=
n
i
i
n
x
x
x
0
1
ko`pxadni kiritamiz. Bundan hosila olsak,
( )
(
)
=
+
−
=
n
k
k
i
n
x
x
x
0
1
`
1
Kvadrat kavs ichidagi ifoda
x = x
i
,
va k
j bo`lganda nolga ylanadi, chunki (x
j
- x
i
)
ko`paytuvchi katnashadi. Demak,
( )
(
)
+
−
=
j
i
j
n
x
x
x
1
`
1
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
193
2181-3187
Shuning uchun ham,
(
)
(
)
−
−
k
i
i
j
x
x
x
x
1
Lagranj koeffitsientini
( )
( )(
)
j
j
n
n
x
x
x
x
−
+
+
`
1
1
ko`rinishda yozish mumkin. Bunda esa Lagranj ko`pxadi quyidagi ko`rinishga ega
bo`ladi
( )
( )
( )
( )(
)
j
j
n
n
j
n
j
n
x
x
x
x
x
f
x
L
−
=
+
+
=
`
1
1
0
Endi tugunlar bir xil o`zoklikda joylashgan x
1
-x
0
=x
2
–
x
1
= … =x
n
–
x
n-1
=h xususiy
xolniko`ramiz.
Bu xolda soddalik uchun x=x
0
+th
almashtirish bajaramiz, u xolda
(
)
( )
( )
t
h
x
j
t
h
x
x
n
n
n
j
*
1
1
1
,
+
+
+
=
−
=
−
.
bu erda
( ) ( ) (
)
( )
( ) (
)
n
j
n
n
h
j
h
j
x
n
t
t
t
t
!
!
1
,
...
1
*
1
*
1
−
−
=
−
−
=
+
+
bo`lib, (4.21) Lagranj interpolyatsion ko`pxadi quyidagi ko`rinishni oladi:
(
)
( )
( )
( )
(
) (
)
=
−
+
−
−
−
=
+
n
j
j
j
n
n
n
j
n
j
j
t
x
f
x
th
x
L
0
*
1
!
!
1
Endi Lagranj interpolyatsion formulasining koldik, xadini baxolashni ko`ramiz.
Agar biror [
a,b
] oraliqda berilgan
f (x)
funktsiyani L
n
(x) interpolyatsion ko`pxad bilan
almashtirsak, ular interpolyatsiya tugunlarida o`zaro ustma-ust tushib, boshqa
nuqtalarda esa bir-biridan farq kiladi. Shuning uchun koldik xadning R(x) = f (x) - L
n
(x)
ko`rinishini topish va uni baxolash bilan shurullanish maqsadga muvofik. Buning
uchun interpolyatsiya tugun-larini o`z ichiga oladigan [
a,b
] oraliqda f (x) funktsiya
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
194
2181-3187
(n+1) tartibli
f
(n+1)
(x)
uzluksiz hosilaga ega deb faraz kilamiz. Interpolyatsiyaning
koldik xadi R(x) uchun quyidagi teorema urinlidir:
Teorema. Agar f(x) funktsiya [a,b] oraliqda (n+1)tartibli uzluksiz hosilaga ega
bo`lsa, u xolda interpolyatsiya koldik, xadini
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
!
1
1
1
+
=
=
−
+
+
n
x
f
x
R
x
L
a
f
n
n
n
ko`rinishda ifodalash mumkin. Bu erda
[
a,b
]
bo`lib, umuman aytganda x
ning funktsiyasidir.
M i s o l . Agar ln100, 1n101, 1n102, 1n103 larning qiymatlari ma`lum bo`lsa,
Lagranjning interpolyatsiey formulasi yordamida 1n100,5 ni qanday aniqlikda
kisoblash mumkin?
Y e c h i s h . Lagranj interpolyatsion formulasining koldik xadi, agar n=3 bo`lsa,
quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
( )
( )
( )(
)(
)(
)(
)
3
2
1
0
4
3
!
4
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
R
−
−
−
−
=
Bizning xolda
x
0
=100, x
1
=101, x
2
=102, x
3
=103, x=100,5; 100<
<100,5.
CHunki
f(x) = ln x
u xolda
( )
( )
4
4
6
x
x
f
−
=
. Shunday kilib,
(
)
( )
8
4
10
23
,
0
5
,
2
5
,
1
5
,
0
5
,
0
!
4
100
6
5
,
100
−
=
R
EKSTRAPOLYATSIYA
Ekstrapolyatsiya. e
kstrapolyatsiya, ya`ni argumentning jadvaldagi qiymatlaridan
tashqari qiymatlarida funktsiyaning qiymatini topish masalasi ustida tuxtalib utamiz.
ekstrapolyatsiyalash odatda, jadvalning bir-ikki kadami mikyosida bajariladi. CHunki
argu-mentning jadvaldagi qiymatidan o`zokrok qiymatida ekstrapolya-tsiyalanganda
xato ortib ketadi. Jadval boshida ekstrapolyatsiyalash uchun N’yutonning birinchi
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
195
2181-3187
interpolyatsion formulasi qo`llanilib, jadval oxirida esa ikkinchisi qo`llaniladi.
Interpolyatsion ko`p-xadning tartibi odatda jadvalning amaliy o`zgarmas ayirmalar-
ining tartibiga teng kilib olinadi.
M i s o l .
jadvaldan foydalanib x=1,210 va x = 1,2638 nuqtalar uchun
ko`pxadning ko`rinishi aniqlansin.
jadval;
x
y = f (x)
y
i
2
y
i
3
y
i
1,215
0,106044
7232
-831
95
1,220
0,113276
6395
-742
93
1,225
0,119671
5653
-649
93
1,230
0,125324
5004
-556
91
1,235
0,130328
44448
-465
90
1,240
0,134776
3983
-375
88
1,245
0,138759
3608
-287
87
1,250
0,142367
3321
-200
1,255
0,145688
3121
1,260
0,148809
Y e h i s h .
Jadvaldagi uchinchi tartibli ayirma amalda o`zgarmasdir. Shuning uchun ham uchinchi
tartibli interpolyatsion formuladan foydalanamiz. Jadval boshida va oxirida ekstrapolyatsiyalash uchun
formulalar quyidagicha yoziladi:
( )
(
)
(
)
(
)(
)
!
3
2
1
000095
,
0
2
1
000837
,
0
007232
,
0
106044
,
0
3
−
−
+
−
−
+
+
=
q
q
q
q
q
q
x
P
( )
(
) (
)
(
)(
)
!
3
2
1
000087
,
0
2
1
000200
,
0
003121
,
0
148809
,
0
3
+
+
+
−
−
+
+
=
q
q
q
q
q
q
x
P
Birinchi formulaga
(
)
1
05
,
0
215
,
1
210
,
1
/
0
−
=
−
=
−
=
h
x
x
q
qiymatni kuysak:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
196
2181-3187
(
)
( )
( ) ( ) (
)
( ) ( ) ( )
097880
,
0
000095
,
0
!
3
3
2
1
000837
,
0
2
2
1
007232
,
0
1
106044
,
0
210
,
1
=
−
−
−
+
+
−
−
−
+
−
+
y
Shunga o`xshash
76
,
0
005
,
0
260
,
1
2638
,
1
4
=
−
=
−
=
h
x
x
q
ni ikkinchi formulaga kuysak,
(
)
(
)
1511007
,
0
0000535
,
0
!
3
76
,
2
76
,
1
76
,
0
000200
,
0
2
76
,
1
76
,
0
003121
,
0
76
,
0
148809
,
0
2638
,
1
=
+
+
−
+
+
y
3. TESKARI INTERPOLYATSIYA
Teskari interpolyatsiya.
Shu paytgacha
y=f(x)
funktsiyaning jadvali berilgan xolda
argumentning berilgan qiymati
x
da funktsiyaning taqribiy qiymatini topish masalasi
bilan shugul-landik. Teskari interpolyatsiya masalasi quyidagicha qo`yiladi:
y=f(x)
funktsiyaning berilgan
u
qiymati uchun argumentning shunday
x
qiymatini topish
kerakki,
f (
x )
y
bo`lsin. Faraz kilaylik, jadvalning karalayotgan oraligida
f (x)
funktsiya
monoton va demak, bir qiymatli teskari funktsiya
x=
(y) (f (
(y))=y)
mavjud bo`lsin.
Bunday xolda teskari interpolyatsiya
(y)
funktsiya uchun odatdagi interpolyatsiyaga
keltiriladi.
x=
(y)
qiymatni topish uchun Lagranj yoki N’yutonning tugunlari har xil
o`zoklikda joylashgan xol uchun formulalardan foydalanish mumkin. Masalan,
Lagranjning interpolyatsion formulasi
( )
=
−
−
=
i
j
j
i
i
n
i
i
n
y
y
y
y
x
y
L
0
ko`rinishga ega bo`lib, koldik xadi
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
+
−
+
=
−
n
K
i
i
n
n
y
y
n
y
L
y
!
1
1
bo`ladi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
197
2181-3187
Agar
f(x)
monoton bo`lmasa, yuqoridagi formula yaramaydi. Bunday xolda u
yoki bu interpolyatsion formulani yozib, argumentning ma`-lum qiymatlaridan
foydalanib va funktsiyani ma`lum deb hisoblab, hosil bo`lgan tenglama u yoki bu usul
bilan argumentga nisbatan echiladi.
Xulosa
Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi [
a,b
] kesmaning boshlangich
nuqtalarida interpolyatsiyalash va kesmaning oxirgi nuqtalarida ekstrapolyatsiyalash
uchun, ikkinchi formulasi esa kesmaning oxirgi nuqtalarida interpolyatsiyalash va
kesmaning boshlangich nuqtalarida ekstropolyatsiyalash uchun qo`llaniladi. Shuni
ham aytish lozimki, ekstrapolyatsiyalash interpolyatsiyalashga karaganda kattarok
xatoliklar beradi, ya`ni uning qo`llanish chegarasi cheklangan. Lagranj va Nyuton
interpolyatsion formulalarini bir-birlari bilan solishtirsak quyida-gilar bilan
farqlanishini ko`ramiz:
Lagranj formulasidagi har bir xad teng xukukli n-tartib-li ko`pxaddan iborat.
Shuning uchun avvaldan (hisoblanmasdan avval) birorta xadini tashlab yubora
olmaimiz. N’yuton formu-lasining xadlari esa darajasi oshib boruvchi ko`pxadlardan
iborat bo`lib, ularning koeffitsientlari faktoriallarga bo’lingan chekli ayir-malardan
iborat. Shuning uchun N’yuton formulasidagi kichik koeffitsientlar oldidagi xadlarni
tashlab yuborishimiz mumkin. Ya`ni bu xolda funktsiyaning oraliq qiymatlarini yetarli
aniqlikda sodda interpolyatsion formulalardan foydalanib hisoblash mumkin.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI
1.
Isroilov M. «Hisoblash metodlari», T., "O`zbekiston", 2003
2.
Shoxamidov Sh.Sh. «Amaliy matematika unsurlari», T., "O`zbekiston", 1997
3.
Boyzoqov A., Qayumov Sh. «Hisoblash matematikasi asoslari», O`quv
qo`llanma. Toshkent 2000.
4.
Abduqodirov A.A. «Hisoblash matematikasi va programmalash», Toshkent.
"O`qituvchi" 1989.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
198
2181-3187
5.
Vorob`eva G.N. i dr. «Praktikum po vichislitel’noy matematike» M. VSh. 1990.
6.
Abduhamidov A., Xudoynazarov S. «Hisoblash usullaridan mashqlar va
laboratoriya ishlari», T.1995.
7.
Siddiqov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O`quv qo`llanma.
T.2001.
8.
Internet ma`lumotlarini olish mumkin bo`lgan saytlar:
