ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
390
2181-3187
INTERPOLYATSION KVADRATUR FORMULALАR
A.I.Ismoilov
amaliy matematika va informatika
kafedrasi katta o‘qituvchisi.
Fizika-matematika fanlari
bo‘yicha falsafa doktori(PhD)
Xudoyberdiyev Nozimbek Zarifjon o‘g‘li
Farg‘ona Davlat Universiteti Amaliy matematika
yo‘nalishi 3-kurs talabasi 22-08-guruh talabasi
nozimbekxudoyberdiyev55@gmail.com
Annotatsiya
Maqola interpolyatsion kvadratur formulalarga bag‘ishlangan bo‘lib, unda eng
sodda kvadratur formulalar – to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalari
batafsil yoritilgan. Ushbu formulalarning qurilish usullari, ularning aniqlik darajalari
va qoldiq hadlari tahlil qilinadi. To‘g‘ri to‘rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi
darajali ko‘phadlar uchun aniq bo‘lsa, Simpson formulasi uchinchi darajali
ko‘phadlarni aniq integrallashi ko‘rsatilgan. Shuningdek, interpolyatsion kvadratur
formulalarning umumiy xususiyatlari, algebraik aniqlik darajasi va ularning simmetrik
tugunlar bilan bog‘liq xossalari o‘rganiladi.
Kalit so‘zlar:
interpolyatsion kvadratur formulalar, to‘g‘ri to‘rtburchak
formulasi, trapetsiya formulasi, Simpson formulasi.
Kirish
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
391
2181-3187
Eng sodda kvadratur formulalar: to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson
formulalari. Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida qurish
mumkin.
Aytaylik, integralni hisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan
oraliqda
f(x)
const bo`lsa, u vaqtda
(1)
1-rasm 2-rasm
deb olishimiz mumkin (1-rasm). Bu formula
to`g`ri to`rtburchaklar formulasi
deyiladi.
Faraz qilaylik,
f(x)
funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda tabiiy
ravishda integralni balandligi (
b - a
) ga va asoslari
f(a)
va
f(b)
ga teng bo`lgan
trapetsiya yuzi bilan almashtirish mumkin (2-rasm), u holda
(2)
deb olishimiz mumkin. Bu formula
trapetsiya formulasi
deyiladi. Nihoyat,
f(x)
funksiya [
a, b
] oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda ni taqribiy
ravishda
Ox
o`qi va
х=а, х=b
to`g`ri chiziqlar hamda
( )
у
f x
=
funksiya grafigining
absissalari
b
x
va
b
a
x
a
x
=
+
=
=
2
,
bo`lgan nuqtalaridan o`tuvchi ikkinchi tartibli
b
)
(
a
dx
x
f
+
−
b
a
b
a
f
a
b
dx
x
f
2
)
(
)
(
))
(
)
(
(
2
)
(
b
f
a
f
a
b
dx
x
f
b
a
+
−
b
a
dx
x
f
)
(
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
392
2181-3187
parabola orqali chegaralangan yuzа bilan almashtirish mumkin (3-rasm), u holda
quyidagiga ega bo`lamiz:
( )
( )
4
( )
6
2
b
a
b
a
a
b
f x dx
f a
f
f b
−
+
+
+
(3)
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi.Bu
formulaning hosil qilinishi usulidan ko`rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali
2
2
0
2
(
)
х
Р х
а
а х а х
=
+
+
ko`phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur
formulalarga ega bo`ldik. (1) formulani tuzishda u o`zgarmas son
f(x)= с
ni aniq
integrallashini talab qilgan edik. Lekin u
f(x)
=
а
0
+ а
1
х
chiziqli funksiyani ham aniq
integrallaydi, chunki:
balandligi
(b-a)
va o`rta chiziqi
bo`lgan ixtiyoriy trapetsiyaning yuziga teng.
Shunga o`xshash
Simpson formulasi
ham biz kutgandan ko`ra ham yaxshiroq
formuladir. U uchinchi darajali
2
0
2
3
( )
г
х
Р х
а
а х а х
а х
=
+
+
+
ko`phadlarni ham aniq
integrallaydi.
Haqiqatan ham, uchinchi darajali
Р
3
(х)
ko`phadni quyidagicha
( )
( )
2
3
3
3
0
2
3
2
3
х
Р х
а
а х
а х
а х
Р х
а х
=
+
+
+
=
+
yozamiz:
u vaqtda
P
3
(x)dx= P
2
(x)dx + a
3
x
3
dx
=
P
2
(x)dx+( /4)(b
4
- a
4
)
(4)
Lekin bizga ma`lumki,
+
−
2
)
(
b
a
f
a
b
+
2
b
a
f
b
a
b
a
b
a
b
a
3
a
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
393
2181-3187
+
+
+
−
=
3
3
2
2
2
)
2
(
4
)
(
6
)
(
b
a
b
a
P
a
P
a
b
dx
x
P
b
a
(5)
Ikkinchi tomondan,
4
4
3
3
3
3
3
3
3
(
)
4 (
)
4
6
2
a
b
a
a
b
b
a
a a
a
a b
−
+
−
=
+
+
(6)
ayniyat o`rinlidir . Endi (5) - (6) ni (4) ga qo`yib,
3
3
3
3
( )
( )
4 (
)
( )
6
2
b
a
b
a
a
b
P x dx
P a
P
P b
−
+
=
+
+
ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko`rdik. Ulardan ikkitasi to`g`ri
to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phad uchun aniq formula
bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko`phad uchun aniq formuladir.
To`g`ri to`rtburchak , trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari. Endi
yuqorida qurilgan kvadratur formulalarning qoldiq hadlarini aniqlash bilan
shug`ullanamiz. To`g`ri to`rtburchak formulasining qoldiq hadi
( )
( )
(
)
0
)
2
(
R
f
f x dx
b a
b
f
a
=
−
+
−
ni topish uchun
f(x)
funksiya [
a, b
] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz
f"(x)
hosilaga
ega bo`lsin deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko`ra:
bu yerda Bu tenglikning har ikkala tomonini
a
dan
b
gacha
integrallasak
)
(
2
2
1
2
2
)
2
(
)
(
2
f
b
a
x
b
a
f
b
a
x
b
a
f
x
f
+
−
+
+
+
−
=
+
−
2
)
(
b
a
x
х
+
=
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
394
2181-3187
2
0
1
( )
( )
(7)
2
2
b
a
a b
R f
x
f
dx
+
=
−
kelib chiqadi, chunki
0.
2
b
a
a
b
x
dx
+
−
=
Quyidagicha belgilash kiritaylik:
min
( ),
max
( )
a x b
a x b
m
f
x M
f
x
=
=
Integral ostidagi funksiya o`z ishorasini saqlaydi, shuning uchun (7) integralga
umumlashgan o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llash mumkin:
24
)
(
2
)
(
3
2
0
a
b
L
dx
b
a
x
L
f
R
b
a
−
=
+
−
=
(8)
bunda
)
(
,
x
f
M
L
m
uzluksiz bo`lgan uchun Koshi teoremasiga ko`ra shunday
,
b
a
topiladiki,
L=
)
(
f
. E
ndi (8) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
( )
)
(
24
)
(
3
0
f
a
b
f
R
−
=
(9)
Bu esa qoldiq hadning izlanayotgan ko`rinishidir.
Endi trapetsiya formulasining qoldiq hadini topaylik. Buning uchun
f(x)
funksiyani
x = a
va
x = b
nuqtalardagi qiymatlari yordamida interpolyatsiyalab,
interpolyatsion formulani qoldiq hadi bilan yozamiz:
f(х)-L
1
(х) =
)
(
)
)(
(
2
1
f
b
x
a
x
−
−
Bu tenglikning har ikkala tomonini
a
dan
b
gacha integrallaymiz, natijada
2
2
+
b
a
x
−
−
=
b
a
dx
f
b
x
a
x
f
R
)
(
)
)(
(
2
1
)
(
1
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
395
2181-3187
hosil bo`ladi. Bu yerda [
a,b
] oraliqda
(x-a)(x-b)
0 bo`lgani uchun
R
1
(f)
integralga
o`rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo`llash mumkin:
)
)(
(
12
)
(
)
)(
(
)
(
2
1
)
(
3
1
b
a
f
a
b
dx
b
x
a
x
f
f
R
b
a
−
−
=
−
−
=
(10)
Nihoyat, Simpson formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Buning uchun
(
0,5
)
с
а b
=
+
deb olib, quyidagi
( )
( )
( )
( )
,
,
H a
f a
H c
f c
=
=
shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyatsion
ko`phadini tuzamiz:
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
)(
)(
(
)
(
)
)(
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
)
(
2
2
3
b
f
c
x
a
x
c
f
b
a
c
x
b
x
a
x
c
f
b
a
b
x
a
x
a
f
b
x
c
x
b
a
x
H
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
Ravshanki,
+
+
+
−
=
b
a
b
f
b
a
f
a
f
a
b
dx
x
H
)
(
2
4
)
(
6
)
(
Endi funksiyalarni interpolyatsiyalashga ko`ra
( )
( )
( )
f x
H x
r x
=
+
interpolyatsion
formulaning qoldiq hadi
r(x) =
)
(
)
(
)
(
24
1
b
a
f
x
IV
bo`lib, bu yerda
(х) = (х-а) (х-с)
2
(х-
b).
Demak, (3) formulaning qoldiq hadi
R
2
(f) =
b
a
IV
dx
f
x
)
(
)
(
24
1
bo`lib,
(x)
ko`phad [
a, b
] oraliqda o`z ishorasini saqlaydi va umumlashgan o`rta
qiymat teoremasiga ko`ra
)
(
)
(
2880
)
(
)
(
5
2
b
a
f
a
b
f
R
IV
−
−
=
ga ega bo`lamiz.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
396
2181-3187
Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko`rsatadiki,
to`g`ri to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phadlar uchun aniq
bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali kop`hadlar uchun aniq formuladir.
Interpolyatsion kvadratur formulalar.
Bundan keyin qisqalik uchun kvadratur
formulaning koeffisiyentlari va tugunlarini yuqori
indekssiz А
1
,
А
2
, .... А
п
va
х
1
, х
2
, ...,х
п
ko`rinishda yozamiz. Faraz qilaylik, bizga
f(x)
funksiyaning
х
1
, х
2
, ...,х
п
nuqtalardagi
f(x
1
),f(x
2
),…,f(x
n
)
qiymatlari berilgan bo`lib,
maqsad shu qiymatlar bo`yicha integralning taqribiy qiymatini mumkin qadar
yuqori aniqlikda topishdan iborat bo`lsin. Demak
А
к
koeffisiyentlar aniqlanishi kerak.
Buning uchun
f(x)
ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib,
(п-
1) - darajali ko`phad
bilan interpolyatsiyalaymiz:
1
1
1,
( )
( )
( , )
(
)
( , )
n
n
i
n
n
k
n
k
i
i k
k
i
x
x
f x
L
x
r f x
f x
r f x
x
x
−
= =
−
=
+
=
+
−
(11)
Endi bu tenglikni
(x)
ga kupaytirib,
a
dan
b
gacha integrallaylik.
Agar bundagi
1
( )
( ) ( )
(
)
( ) ( , )
b
b
n
n
k
k
n
k
a
a
R f
x f x dx
A f x
x r f x dx
=
=
−
=
(12)
qoldiq hadni tashlasak:
1
1,
( ) ( )
(
),
( )
b
b
n
n
i
k
k
k
k
i
i k
k
i
a
a
x
x
x f x dx
A f x
A
x
dx
x
x
==
=
−
=
−
(13)
kvadratur formulaga ega bo`lamiz.
)
(
)
(
2
)
(
1
,...,
,
n
n
n
n
A
A
A
)
(
)
(
2
)
(
1
,...,
,
n
n
n
n
x
x
x
dx
x
f
r
x
dx
x
L
x
dx
x
f
x
n
b
a
n
b
a
b
a
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
+
=
−
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
397
2181-3187
Bu formula qurilish usuliga ko`ra
interpolyatsion kvadratur formula
deyiladi.
Bunday formulalar uchun ushbu teorema o`rinlidir.
Teorema
. Quyidagi
=
b
a
n
k
k
k
x
f
A
x
f
x
1
)
(
)
(
)
(
(14)
kvadratur formulaning interpolyatsion bo`lishi uchun uning barcha
(п-
1) - darajali
algebraik ko`phadlarni aniq integrallashi zarur va kifoyadir.
Kifoyaligi.
(14) formula
(п -
1) - darajali ixtiyoriy ko`phad uchun aniq formuladir.
Xususiy holda,
(п -
1) -darajali ushbu:
ko`phad uchun ham aniq bo`ladi. Agar
m
(x
k
)=0 (к
т)
va
1
)
(
=
m
m
x
ekanligini
hisobga olsak,
kelib chiqadi. Demak (14) qoida interpolyatsiondir, shu bilan teorema isbot bo`ldi.
Bu teoremadan ko`rinadiki,
n
nuqtali interpolyatsion kvadratur formulaning
algebraik aniqlik darajasi
(п-
1) dan kichik bo`lmasligi kerak.
Osongina ishonch hosil qilish mumkinki, yuqorida ko`rib o`tilgan to`g`ri
to`rtburchak, trapetsiya vа Simpson formulalari interpolyatsion kvadratur
formulalardir. Ma`lumki,
f(x)
[
a, b
) oraliqda
n
-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lsa, u
holda interpolyatsion formulaning qoldiq hadi
r
n
(f,
x) ni
)
,...,
2
,
1
(
.
)
(
,
1
n
m
x
x
x
x
x
n
k
i
i
i
m
i
m
=
−
−
=
=
=
=
=
=
=
−
−
b
a
n
k
m
k
m
k
m
b
a
n
k
i
i
i
k
i
A
x
A
dx
x
x
dx
x
x
x
x
x
1
,
1
)
(
)
(
)
(
)
(
=
−
=
=
n
k
k
n
n
x
x
x
x
n
f
x
f
r
1
)
(
)
(
)
(
),
(
!
)
(
)
,
(
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
398
2181-3187
ko`rinishda yozish mumkin. Buni (12) ga qo`yib, kvadratur formula uchun
R
=
b
a
n
n
dx
f
x
x
n
f
)
(
)
(
)
(
!
1
)
(
)
(
(15)
ga ega bo`lamiz. Endi
n
-tartibli uzluksiz hosilaga ega va hosilasi
)
(
)
(
x
f
n
М
п
(16)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfini qaraymiz. Bunday funksiyalar
uchun (2.15) dan
(17)
ga ega bo`lamiz. Agar
(х)
ko`phad [
a,b
] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda
(17) baho aniq bo`lib, undagi tenglikka
f(x) =
n
n
n
n
a
x
a
x
n
M
+
+
+
−
...
!
1
1
ko`phadda erishiladi. Endi interpolyatsion kvadratur formulalarning bir muhim
xossasini ko`rib o`taylik. Avval
А
к
ni aniqlaydigan integralda
almashtirish bajaramiz. Agar
deb belgilasak , u holda
А
к
quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
bu yerda
b
a
n
n
dx
x
x
n
M
f
R
)
(
)
(
!
)
(
t
a
b
t
b
a
x
2
2
−
+
+
=
)
(
2
2
t
t
a
b
b
a
=
−
+
+
−
−
=
−
=
−
−
=
−
−
−
=
1
1
1
1
,
1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
k
k
k
n
k
i
i
i
k
i
k
B
a
b
t
t
t
dt
t
t
a
b
dt
t
t
t
t
t
a
b
A
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
399
2181-3187
1
1
( )
( )
(
)
( )
k
k
k
t dt
B
t
t
t
t
−
=
−
(18)
va
2
k
k
x
a
b
t
b
a
− −
=
−
1
( ) ( )
(19)
2
2
2
b
n
k
k
k
a
b a
a b
b a
x f x dx
B f
t
=
−
+
−
+
(
0,5
)
с
а b
=
+
ko`rinishga keladi.
Teorema
. Faraz qilaylik, vazn funksiyasi
(х) [а,b]
oraliqning o`rta nuqtasiga
nisbatan juft funksiya va
t
k
tugunlar shu nuqtaga nisbatan simmetrik, ya`ni
t
k
=
-
t
n+1-k
bo`lsin. U holda simmetrik tugunlarga mos keladigan kvadratur formulaning
koeffisiyentlari o`zaro teng bo`ladi:
B
k
=B
n+1-k
(20)
Nyuton-Kotes kvadratur formulalari.
Nyuton-Kotes formulalari eng dastlabki
interpolyatsion kvadratur formulalardan hisoblanadi. Bu formulalarda oraliq chekli,
vazn funksiyasi
(х)
1 va x
i
tugunlar o`zaro teng uzoqlikda joylashgandir. Bu
formula (13) formulaning
(х)
1 bo`lgandagi xususiy holidir.
Lekin aksariyat adabiyotlarda Nyuton-Kotes formulasi (19) ko`rinishda emas,
balki boshqa ko`rinishda keltiriladi. Biz ham shu ko`rinishda qaraymiz.
Buning uchun [
a, b
] oraliqni
( )
,
0, ,
n
k
b
a
x
a
kh k
n h
n
−
= +
=
=
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
400
2181-3187
(n+1)
ta nuqtalar yordamida
n
ta bo`lakka bo`lamiz va
)
(
n
k
A
koeffisiyentlarni
tegishli ko`rinishga keltirish uchun
integralda x=a+ th almashtirish bajaramiz,
x-x
)
(
n
i
=
(t - i)h, х[
п)
-
х\
п)
= (к- i)h
bo`lganligi uchun
Demak
A
)
(
n
k
=
.
)
(
)!
(
!
)
1
(
0
,
0
dt
j
t
h
k
n
k
n
n
k
j
j
k
n
=
=
−
−
−
−
Endi
B
)
(
n
k
=
dt
j
t
k
n
k
n
k
n
n
n
k
j
j
=
−
−
−
−
0
,
0
)
(
)!
(
!
)
1
(
(21)
deb olsak, u holda Nyuton-Kotes formulasi quyidagicha yoziladi:
(22)
Bundagi
B
)
(
k
n
koeffisiyentlar [
a, b
] oraliqqa bog`liq emas. Kotes tomonidan
B
)
(
k
n
koeffisiyentlar
n =1,2,..., 10
uchun hisoblangan. Quyida ular
n =1,2,..., 5
uchun
keltirilgan:
dx
x
x
x
x
A
b
a
n
k
i
i
n
i
n
k
n
i
n
k
=
−
−
=
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
.
)
(
)!
(
!
)
1
(
,
0
,
0
)
(
)
(
=
−
=
−
−
−
=
−
−
n
k
i
i
k
n
n
k
i
i
n
i
n
k
n
i
j
t
k
n
k
x
x
x
x
=
+
−
b
a
n
k
n
k
kh
a
f
B
a
b
dx
x
f
0
)
(
).
(
)
(
)
(
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
401
2181-3187
n=
1
: B
)
1
(
0
=B
)
1
(
1
=
2
1
; n=
2
: B
)
2
(
0
=B
)
2
(
2
=
6
1
, B
)
2
(
1
=
6
4
;
n=
3
: B
)
3
(
0
=B
)
3
(
3
=
8
1
, B
)
3
(
1
=B
)
3
(
2
=
8
3
;n=
4
: B
)
4
(
0
=B
)
4
(
4
=
90
7
, B
)
4
(
1
=B
)
4
(
3
=
90
32
,B
)
4
(
2
=
90
12
;
n=
5
: B
)
5
(
0
=B
)
5
(
5
=
288
19
,B
)
5
(
1
= B
)
5
(
4
)
5
(
1
=
288
75
,B
)
5
(
2
=B
)
5
(
3
=
288
50
.
P.O. Kuzmin B
)
(
n
k
lar uchun n
→
da asimptotik formulalarni topgan edi. Bu
formulalardan, jumladan, n
→
da
=
n
k
n
k
B
1
)
(
—>
kelib chiqadi. Endi
=
n
k
n
k
B
1
)
(
=
a
b
−
1
=
b
a
dx
1
1
ekanligini hisobga olsak bundan
n
yetarlicha katta bo`lganda koeffisiyentlar
orasida manfiylari ham, musbatlari ham mavjudligi ravshan bo`lib qoladi. hatto,
n
= 8
va
n
= 10 bo`lganda ham
В
(
к
п)
lar orasida manfiylari mavjuddir. Shuning uchun ham
Nyuton-Kotes formulalarini katta
n
larda qo`llash maqsadga muvofiq emas.
Ravshanki,
n
= 1 va
n
= 2 bo`lganda (22) formuladan mos ravishda trapetsiya va
Simpson formulalari kelib chiqadi. To`g`ri to`rtburchaк formulasi esa
(х) = 1 va
п=
1 bo`lganda (19) formuladan kelib chiqadi.
n
= 3 bo`lganda (22) dan "Sakkizdan uch
qoidasi" deb ataluvchi Nyuton formulasiga ega bo`lamiz:
b
a
dx
x
f
)
(
+
−
+
+
−
+
+
−
)
(
)
(
3
2
3
3
3
)
(
8
)
(
b
f
a
b
a
f
a
b
a
f
a
f
a
b
dx
x
f
b
a
qoldiq hadini
hosil qilamiz.
Misol tariqasida
integralni taqribiy hisoblaylik. Buning uchun umumlashgan
to`g`ri to`rtburchak formulasidan
N
= 10 deb olaylik. Bu yerda
...
693147180
,
0
2
ln
1
1
0
=
=
+
x
dx
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
402
2181-3187
(
)
/
0,1
h
b
a
N
=
−
=
bo`lgani uchun
у
=
)
1
,
0
)
5
,
0
(
1
/(
1
+
+
k
bo`lib,
y
0,5
=0,95238; y
1,5
=0,86957;
y
2,5
=0,80000; y
3,5
=0,74074;
y
4,5
=0,68966; y
5,5
=0,64516;
y
6,5
=0,60606;y
7,5
=0,57143; y
8,5
=0,54054;y
9,5
=0,51282
Bundan esa umumlashgan to`g`ri to`rtburchak formulasiga ko`ra:
I
Bu taqribiy qiymat bilan aniq qiymatning farqi
< 0,00032
Demak ln2
0,693, bu rahamlar aniqdir.
Ikkinchi misol sifatida ushbu integral sinusning
dt
t
t
x
Si
x
=
0
)
sin(
)
(
x
=1 nuqtadagi qiymatini umumlashgan Simpson formulasi bilan olti xona
aniqlikda topish masalasini qaraylik.
Bu yerda aniqlik berilgan
=
0,5 • 10
6
bo`lib, so`ngra unga ko`ra umumlashgan
Simpson formulasi uchun tegishli
N
ni aniqlash mumkin. Buning uchun Si
(x)
ning 4-
tartibli hosilasini baholash kerak. Ravshanki,
Bundan
2
/
k
692836
,
0
)
5
,
9
...
5
,
1
5
,
0
(
10
1
=
+
+
+
y
y
y
692836
,
0
2
ln
−
1
0
cos
sin
uxdu
x
x
=
1
0
4
4
4
cos
sin
uxdu
u
x
x
dx
d
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
403
2181-3187
va
=
1
0
4
4
4
5
1
0
sin
du
u
x
x
dx
d
Endi formulaga ko`ra y quyidagi tengsizlikni qanoatlantirishi kerak:
va
Bundan esa
N
5 ekanligini topamiz. Shuning uchun ham N= 5 uchun
( )
Si l
ni
umumlashgan Simpson formulasi bo`yicha hisoblaymiz. Jadvaldan foydalanib,
quyidagilarni topamiz:
y
0
=1 y
1
=0,998330
y
2
=0,993345
y
3
=0,985067
y
4
=0,973545
y
5
=0,958852 y
6
=0,941070
y
7
=0,920311
y
8
=0,896695
y
9
=0,870363 y
10
=0,841471
Aslida
( )
Si l
ning
olti
xona
aniqlikdagi
qiymati
( )
1
10
1
2
9
2
4
8
1
3
(
)
4(
...
)
2(
...
)
30
0,94608
y
y
y
y
y
y
y
l
y
Si
+
+
+
+ +
+
+
+ +
=
=
xonasidagi oxirgi xona birligidagi farq yaxlitlash xatosi hisobidan kelib chiqqan.
Xulosa
Maqola interpolyatsion kvadratur formulalarning asosiy tushunchalari va amaliy
qo‘llanilishini atroflicha yoritadi. To‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson
formulalari eng sodda kvadratur formulalar sifatida ko‘rib chiqilib, ularning qurilish
usullari va aniqlik darajalari tahlil qilinadi. To‘g‘ri to‘rtburchak va trapetsiya
formulalari birinchi darajali ko‘phadlar uchun aniq bo‘lsa, Simpson formulasi uchinchi
darajali ko‘phadlarni aniq integrallaydi. Qoldiq hadlarning hisoblanishi formulalarning
xatolarini baholash imkonini beradi. Nyuton-Kotes formulalari teng masofali
6
4
10
5
,
0
5
1
1
2880
1
−
N
5
1
sin
1
0
4
4
4
=
du
u
x
x
dx
d
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
404
2181-3187
tugunlarga asoslangan interpolyatsion kvadratur formulalar sifatida o‘rganilib, katta
tugunlar sonida manfiy koeffisiyentlar tufayli cheklovlarga ega ekanligi ko‘rsatiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:
1.
Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул.
–М.: «Наука». -1999г.
2.
Никольский С.М. Квадратурные формулы. 2-е изд. –М.: «Наука». -1972г.
3.
Крылов В.Н. Приближённые вычисления интегралов. –М.: «Наука». -
1967г.
4.
Коробов Н.М. Теоретика – числовые методы в приближённом анализе. –
М.: Физматгиз. -1963г.
5.
Лануош К. Практические методы прикладного анализа. –М.: Физматгиз. -
1961г.
