ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–4_ Мая –2025
451
2181-3187
KARRALI ILDIZLAR UCHUN NYUTON METODI.
Farg’ona davlat Unversiteti amaliy
matematika va informatika kafedirasi
katta o’qituvchisi fizika-matematika
fanlari bo’yicha falsafa doktori (PhD)
A.I.Ismoilov
Amaliy matematika yo’nalish talabasi
Nu’monova Malohat
Annotatsiya
Nyuton-Rafson metodi, odatda bir o‘lchovli funktsiyaning ildizini topish uchun
ishlatiladi. Ammo, ba'zi hollarda funktsiyaning ildizlari bir necha marta takrorlanadi
(karrali ildizlar). Karrali ildizlar uchun Nyuton metodini ishlatishda, ildizning ko‘pligi
(ya'ni ildizning marta takrorlanishi) hisobga olinadi, chunki bu holatda funktsiyaning
o‘zgarishi
va
hosilasi
normaldan
farq
qiladi.
Karrali ildizlar uchun Nyuton metodining asosiy farqi, ildizni hisoblash formulasi
bo‘yicha hosila va funktsiyaning o‘zgarishini karrali ildizning ko‘pligiga nisbatan
moslashtirishda yotadi.
Annotation
The Newton-Raphson method is typically used to find the roots of a single-
variable function. However, in some cases, the function's roots are repeated (multiple
roots). When using the Newton method for multiple roots, the multiplicity of the root
(i.e., how many times the root is repeated) must be taken into account, as in this case,
the behavior of the function and its derivatives differs from the usual case.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–4_ Мая –2025
452
2181-3187
The main difference for the Newton method when applied to multiple roots lies in
adjusting the formula for calculating the root by taking into account the multiplicity of
the root. Specifically, the function and its derivative are modified in relation to the
root's multiplicity.
Аннотация
Метод Ньютона-Рафсона обычно используется для нахождения корней
функции с одной переменной. Однако в некоторых случаях корни функции
могут быть кратными (повторяющимися). При использовании метода Ньютона
для кратных корней необходимо учитывать кратность корня (то есть, сколько раз
корень повторяется), поскольку в этом случае поведение функции и её
производных
отличается
от
обычного
случая.
Основное отличие метода Ньютона для кратных корней заключается в
изменении формулы для вычисления корня с учётом кратности корня.
Конкретно, функция и её производная изменяются в зависимости от кратности
корня.
Kalit so’zlar:
Nyuton-Rafson Metodi,Karrali ildizlar,Funktsiya ildizi,Ko‘p
karra ildiz,Hosila
Keywords:
Newton-Raphson
method,Multiple
roots,Root
of
a
function,Multiple (repeated) root,Derivative
Ключевие слова:
Метод Ньютона-Рафсона,Кратные корни,Корень
функции,Множественный (повторяющийся) корень,Производная
Dastlabki tushunchalar.
Ushbu
( )
0
f
x
=
(1)
chiziqli bo’lmagan tenglamaning ildizi (ildizlarini) topish talab etiladi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–4_ Мая –2025
453
2181-3187
Agar
( )
f x
funksiya ko’phad bo’lsa, u holda (1) tenglama n-darajali algebraik
tenglama deb ataladi, ya’ni
1
0
1
1
( )
( )
...
0
n
n
n
n
f x
P x
a x
a x
a x a
−
−
=
=
+
+ +
+
=
(2)
bunda
0
1
2
1
,
,
,...,
,
n
n
a a a
a
a
−
berilgan
berilgan
( )
P x
ko’phadning
koeffisiyentlari.
Nyuton teoremasi.
Agar
0
x
c
=
uchun
( )
f x
ko’phad va unung barcha hosilalari nomanfiy bo’lsa,
ya’ni
( ),
( ),...
( )
n
f
x
f
x
f
x
u holda
R
c
=
ni (2) tenglamaning musbat ildizlari
uchun yuqori chegara deb hisoblash mumkin.
Isbot: Teylor formulasiga ko’ra
( )
( )
( )
( )(
) ...
(
)
!
n
n
f
c
f x
f c
f c c
x
x
c
n
=
+
− + +
−
Teorema shartiga ko’ra
x c
bolganda bu tenglikning o’ng tomoni musbatdir. Demak,
(2) tenglamalarning barcha
x
+
musbat ildizlari
x
R
+
Tengsizlikni
qanoatlantiradi.
Bu teoremalar faqat musbat ildizlarning yuqori chegarasini aniqlaydi.
Quyidagi
1
2
1
0
1
2
( ) ( 1) (
)
... ( 1)
n
n
n
n
n
f x
f
x
a x
a x
a x
a
−
−
= −
− =
−
+
− + −
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–4_ Мая –2025
454
2181-3187
1
2
1
1
0
1
( )
...
n
n
n
n
n
f x
x f
a x
a
x
a x a
x
−
−
=
=
+
+ +
+
1
3
1
0
1
( ) (
)
... ( 1)
n
n
n
n
n
n
f x
x f
a x
a x
a
x
−
−
= −
−
=
−
+ + −
Ko’phadlarga yuqoridagi teoremalarni qo’llab,
1
2
3
( ), ( ),
( ),
( )
f x f x f x f x
lar
musbat ildizlarning yuqori chegaralari
0
1
2
3
,
,
,
R
R
R
R
larni mos ravishda
topgan bo’lsak, u vaqtda (2) tenglamaning hamma
x
+
musbat ildizlari v
2
1
x
R
R
+
hamma
x
−
manfiy ildizlari esa
1
3
1
R
x
R
−
−
−
tengsizlikni qanoatlantirar ekan.
Nyuton
metodi
Tenglamalarni
yechish
metodlari
orasida
eng
dastlabkilaridan biridir. Shuning uchun ham yaqinlashish tezligini ortirish yoki
hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida bu metodni o’zgartirish yo’lida juda ko’p
urinishlar bo’lgan. Shularning ayrimlariga to’htalib o’tamiz .
Shu vaqtgacha
n
x
ketma-ket yaqinlashishlar yotgan oraliqda
( )
0
f
x
deb faraz qilingan edi, bundan tashqari
( )
0
f
yani
tub ildiz
bo’lgan xol karrali edi. 1870-yilda E.Shredir
ildiz
p
- karrali bo’lgan holni
tekshirib chiqdi. Biz hozir anashu hilni ko’rib chiqamiz . Biz avval
1
p
bo’lganda
Nyuton ketma-ketligikerakli ravishda o’zgartirilganda uning tez yaqinlashishini
ko’rsatamiz .
yechim
( )
f x
ning
p
-karrali ildizi bo’lgani uchun ,
yechim
atrofidagi
( )
f x
ning Teylor qatoridagi yoyilmasi quyidagicha bo’ladi:
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
...
p
p
m
p
p
m
m
f x
C x
C
x
C x
R x
+
+
=
−
+
−
+ +
−
+
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–4_ Мая –2025
455
2181-3187
( )
( )
!
k
k
f
C
k
=
(
)
,
1,...,
k
p p
m
=
+
(6.28)
Faraz qilaylik,
n
x
lar
ga yaqin bo’lsin, u holda
n
n
x
= −
kichik
miqdor bo’ladi.Nyuton qoydasidan
n
bilan
1
n
+
orasidagi munosabatni
chiqaramiz:
(
)
(
)
1
!
n
n
n
n
f
f
+
−
=
+
−
(6.29)
(6.28) yoyilmada faqat ikkita bosh hadlarni saqlab, quyidagilarni hosil qilamiz:
(
) ( )
1
1
1
...
p
p
p
n
p n
p
n
f
C
C
+
−
−
= −
−
+
(
) ( )
( )
1
1
1
1
1
...
p
p
p
n
p n
p
n
f
pC
p
C
−
−
+
−
= −
− +
+
(
)
( )
(
)
1
1
1
1
1
1
1
...
p
p
p
n
p
n
p n
p
p
C
f
pC
pC
−
+
−
−
+
=
−
+
−
(
)
(
)
1
1
...
p
n
p
n
n
n
p
C
f
f
p
C
+
−
= −
+
+
−
Oxirgi tenglikka olib borib (6.29) qo’yamiz:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–4_ Мая –2025
456
2181-3187
1
2
1
2
1
1
...
p
n
n
n
p
C
p
p C
+
+
=
−
−
+
Bunda faqat bitta bosh hadini qoldirib,quyidagi taqribiy tenglikka ega bolamiz:
1
1
1
n
n
p
+
= −
Bu tenglik shuni ko’rsatadiki
n
taqriban mahraji
1
1
q
p
= −
ga teng bo’lgan
geometrik progressiya bo’yicha kamayadi. Buni
( ) 0
f
bo’lgan hol bilan solishtirib
ko’rsak,
1
p
bo’lganda yaqinlashish tezligini sustlashishini ko’ramiz.
Haqiqatan ham,
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0
2
0
1
n
n
n
n
n
f
f
f
f
=
=
−
+
−
+
−
tenglikdan va (6.29) dan
(
)
(
)
2
1
1
2
n
n
n
n
f
f
+
−
= −
−
(6.30)
ni hosil qilamiz,bunda
n
ni yetarlicha kichik deb olib
1
n
+
bilan
n
orasidagi
( )
( )
2
1
1
2
n
n
f
f
+
−
(6.31)
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–4_ Мая –2025
457
2181-3187
munosanatni hosil qilamiz. Bu yerda
n
kvadratik qonun bilan kamayadi.
1
p
bo’lganda yaqinlashish tezligini ortirish uchun Nyuton qoidasini
( )
( )
1
n
n
n
n
f
x
x
x
p
f
x
+
=
−
(6.32)
ga almashtiramiz. U holda (6.30) dan
1
n
+
bilan
n
orasidagi quyidagi munosabatga
ega bo’lamiz:
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
1
2
2
1
1
p
n
n
n
p
f
f
f
p p
f
+
+
−
=
+
(6.33)
Bundan ko’ramizki,
ildiz
p
karrali bo’lganda (6.32) qoida uchun yaqinlashish
taqriban Nyuton qoidasining yaqinlashishiga teng.
Xulosa
Karrali ildizlar uchun Nyuton metodining standart ko‘rinishi sekin konvergensiyaga
olib kelishi mumkin, chunki ildizning ko‘paytmaliligi hisobga olinmaydi. Shu sababli,
modifikatsiyalangan Nyuton metodi, ya’ni ildizning ko‘paytmaliligi ni hisobga olgan
holda formulasidan foydalanish, yaqinlashuv tezligini sezilarli oshiradi. Ushbu usul,
ayniqsa, karrali ildizlarni aniqlashda yuqori samaradorlikka ega bo‘lib, hisoblashlar
sonini kamaytiradi va aniqlikni oshiradi. Shu bois, karrali ildizlarni topishda
modifikatsiyalangan Nyuton metodidan foydalanish maqbul yechim hisoblanadi.
Foydalanilganadabiyotlar:
1. Ахмедов Х.Х. Matematik analiz. – Toshkent:“Fan va texnologiya”, 2016.
2. Буюкли Н.Н., Ҳамидов А.И. Numerik usullar. –Toshkent: O‘zMU nashriyoti,
2008.
3. Калитевский Н. Численные методы. – Москва: Высшая школа,2001.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–4_ Мая –2025
458
2181-3187
4. Самойленко А.М., Геворкян А.Э. Методы приближенногорешения уравнений.
–
Киев:
Наукова
думка,
1989
5. Хомченко П.А. Краткий курс высшей математики. – Москва:Феникс, 2006.
6. Иноятов Ш.И. Matematik analiz va differensialtenglamalar. – Toshkent: TDPU,
2015.
7. Burden R.L., Faires J.D. Numerical Analysis. –Boston: Cengage Learning, 2011.
