ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
3
2181-3187
TENGLAMALARNI YECHISHDA ODDIY ITERATSIYA METODI
Farg’ona davlat universiteti amaliy
matematika va informatika kafedrasi katta
o'qituvchisi fizika-matematika fanlari
bo'yicha falsafa doktori(PhD)
A.I.Ismoilov
Amaliy matematika
yo’nalishi talabasi
Olimova Lobarxon
lobarxonkamolova0104@gmail.com
Annotatsiya
Ushbu maqolada algebraik tenglamalarni yechishda qo‘llaniladigan oddiy
iteratsiya metodining nazariy asoslari, yaqinlashish shartlari va yechim usullari bayon
qilingan. Teorema va misollar yordamida metodning samaradorligi ko‘rsatilib, konkret
tenglamalar uchun ildizlar aniqlangan.
Annotation
This article presents the theoretical foundations of the simple iteration method
used in solving algebraic equations, along with convergence conditions and solution
techniques. The effectiveness of the method is demonstrated through theorems and
examples by calculating the roots of specific equations.
Аннотация
В данной статье изложены теоретические основы метода простой итерации,
применяемого для решения алгебраических уравнений, а также условия
сходимости и способы вычисления решений. На основе теорем и примеров
показана эффективность метода при нахождении корней конкретных уравнений.
Kalit so’zlar:
Iteratsiya metodi, yaqinlashish, algebraik tenglama, kanonik shakl,
ildiz topish.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
4
2181-3187
Keywords
: Iteration method, convergence, algebraic equation, canonical form,
root finding.
Ключевие слова:
Метод итерации, сходимость, алгебраическое уравнение,
каноническая форма, нахождение корня.
Kirish
Ko‘plab algebraik va transsendental tenglamalarni aniq usullar bilan yechish
mushkul bo‘lgan holatlarda iteratsion yondashuvlar qo‘llaniladi. Oddiy iteratsiya
metodi — bu ildizga ketma-ket yaqinlashish orqali tenglamani sonli yechish usulidir.
Ushbu maqolada bu metodning ishlash printsipi, yaqinlashish shartlari va aniq misollar
orqali qo‘llanilishi ko‘rib chiqiladi.
Oddiy iteratsiya metodi.
Biz hozir oddiy iteratsiya (yoki ketma-ket
yaqinlashish) metodi bilan bitta sonli tenglama misolida tanishamiz. Iteratsiya
metodini qo’llsh uchun
( )
0
f x
=
tenglama unga teng kuchli bo’lgan quyidagi
( )
x
x
=
(3.1)
kanonik shaklga keltirilgan va ildizlari ajratilgan bo’lishi kerak.
(3.1)
tenglamning
ildizi yotgan atrofning biror
0
x
nuqtasini izlanayotgan ildizning nolinchi yaqinlashishi
deb olamiz. Navbatdagi yaqinlashishni topish uchun
(3.1)
ning o’ng tomoniga
0
x
ni
qo’yamiz va xosil bo’lgan qiymatini
1
x
bilan belgilaymiz, ya’ni:
1
0
( )
x
x
=
(3.2)
Topilgan
1
x
sonni
(3.1)
ning o’ng tomoniga qo’yib yangi son
2
1
( )
x
x
=
hosil
qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib
n
-yaqinlashish
n
x
ni
(
1)
n
−
-yaqinlashish
1
n
x
−
yordamida topamiz:
1
(
)
n
n
x
x
−
=
(
1, 2,3,...)
n
=
(3.3)
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
5
2181-3187
Bu formula yordamida topilgan sonlar ketma-ketligining limiti, ya’ni
lim
n
n
x
→
=
(3.4)
Mavjud va
( )
x
funksiya uzluksiz bo’lsa,
(3.3)
tenglik har ikkala tomonida
limitga o’tib,
1
1
lim
lim (
)
(lim
)
( )
n
n
n
n
n
n
x
x
x
−
−
→
→
→
=
=
=
=
Ya’ni
( )
=
Ga ega bo’lamiz. Bu tenglikdan ko’rinadiki,
berilgan tenglamaning ildizi ekan.
Demak bu tenglikni
(3.3)
formula yordamida istalgan aniqlik bilan hisoblash mumkin.
(3.4)
Limit mavjuda bo’lgan holda iteratsiya jarayoni yaqinlashuvchi deyiladi. Lekin
lim
n
n
x
→
mavjud bo’lmasligi ham mumkin, bunday holda oddiy iteratsiya usuli maqsadga
muvofiq bo’lmaydi.
1.Teorema. Faraz qilaylik,
( )
x
funksiya va dastlabki yaqinlashish
0
x
quyidagi
shartlarni qanoatlantirsin:
1)
( )
x
funksiya
0
x
x
−
(3.5)
Oraliqda aniqlangan bo’lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkita
x
va
y
nuqtalar
uchun
( )
x
Lipshits shartini qanoatlantirsin:
( )
( )
(0
1)
x
y
q x
y
q
−
−
(3.6)
2) Quyidagi tengsizliklar bajarilsin:
0
0
( )
,
1
x
x
q
−
−
(3.7)
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
6
2181-3187
U holda
(3.1)
tenglama
(3.5)
oraliqda yagona
ildizga ega bo’lib,
n
x
ketma-
ketlik bu yechimga intiladi va intilish tezligi
1
n
n
x
q
q
−
−
(3.8)
tengsizlik bilan aniqlanadi.
Isboti. Avval induksiya metodini qo’llab, ixtiyoriy
n
uchun
n
x
ni qurish
mumkinligini
n
x
ning
(3.5)
oraliqda yotishligi va
1
n
n
n
x
x
q
+
−
(3.9)
Tengsizlikning bajarilishini ko’rsatamiz.
Agar
0
n
=
bo’lsa,
1
0
( )
x
x
=
bo’lgani uchun
(3.9)
tengsizlik
(3.7)
dan kelib
chiqadi.
Bundan tashqari,
1
q
−
bo’lgani uchun
1
0
x
x
−
tengsizlik bajarilib,
1
x
(3.5)
oraliqda yotadi. Endi faraz qilaylik,
1
2
3
,
,
,...
n
x x x
x
lar qurilgan bo’lib, ular
(3.5)
oraliqda yotsin va
1
k
k
k
x
x
q
+
−
(
0,1, 2,3,...)
k
=
Tengsizliklar bajarilsin. Induksiya shartiga ko’ra
n
x
(3.5)
da yotadi,
( )
x
(3.5)
da aniqlangan, shuning uchun ham
1
(
)
n
n
x
x
+
=
ni qurish mumkin. Teoremaning 1-
shartidan
1
1
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
q x
x
+
−
−
−
=
−
−
kelib chiqadi. Lekin
1
n
x
−
va
n
x
uchun induksiya shartiga ko’ra
1
1
n
n
n
x
x
q
−
+
−
o’rinli, demak,
1
n
n
n
x
x
q
+
−
. Bu esa
1
n
x
−
va
n
x
uchun
(3.9)
tengsizlikning bajarilishini
ko’rsatadi. Nihoyat,
1
1
1
0
1
1
1
0
1
...
...
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
q
x
x
x
x
x
x
x
x
q
q
q
q
+
−
+
+
−
−
−
−
+
−
+ +
−
+
+ + =
−
−
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
7
2181-3187
Munosabatlar
1
n
x
+
ning
(3.5)
oraliqda yotishini korsatadi. Shu bilan isbot qilish
talab etilgan mulohaza tasdiqlanadi.
Endi
n
x
fundamentlat ketma-ketlik tashkil etishini ko’rsatamiz.
(3.9)
tengsizlikka
ko’ra ixtiyoriy
p
natural son uchun
1
1
1
...
...
1
n p
n
n
n p
n
n p
n p
n
n
x
x
x
x
x
x
q
q
q
q
+ −
+
+
+ −
+
−
−
+ +
−
+ +
−
Yoki
1
n
n p
n
x
x
q
q
+
−
−
(3.10)
Bu tengsizlikning o’ng tomoni
p
ga bog’liq bo’lmaganligi va
0
1
q
bo’lganidan
n
x
ketma-ketlikning fundamentalligi va uning limiti
lim
n
n
x
→
=
mavjudligi kelib chiqadi.
n
x
ketma-ketlik
(3.5)
oraliqda yotgani uchun
ham shu
oraliqda yotadi.
(3.6)
shartdan
( )
x
ning uzluksizligi kelib chiqadi, shuning uchun
ham
1
(
)
n
n
x
x
+
=
tenglikda limitga o’tib
(3.1)
tenglamaning ildizi ekanini isbotlaymiz.
Endi e ildizning
(3.5)
oraliqda yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik,
(3.1)
tenglamaning
(3.5)
oraliqdagi boshqa biror ildizi bo’lsin,
=
ekanini ko’rsatamiz.
Haqiqatdan ham
(3.6)
ga ko’ra
( )
( )
q
− =
−
−
0
1
q
bo’lgani uchun bu munosabat faqat
=
bo’lganida bajariladi.
Yaqinlashish tezligini ko’rsatuvchi
(3.8)
tengsizlikni keltirib chiqarish uchun
(3.10)
tengsizlikda
p
→
limitga o’tish kifoya. Teorema isbot bo’ldi.
Misol. Iteratsiya usukli bilan
3
( )
80
32
f x
x
x
= −
+
(3.11)
Tenglamaning musbat ildizlari 5 ta ishonchli raqam bilan topilsin.
Yechish.Shturm metodini qo’llab bu tenglamaning musbat ildizlar e1 va e2
larning mos ravishda
(0;0,5)
va
(8,5;9)
oraliqda yotishini ko’ramiz. Iteratsiya metodini
qo’llash uchun
(3.11)
tenglamani kanonik ko’rinishda yozish kerak. Buni ko’p usullar
bilan bajarish mumkin. Lekin har doim ham kanonik ko’rinishdagi f
( )
x
funksiya
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
8
2181-3187
teorema shartini qanoatlantiravermaydi.
(3.11)
tenglamani unga ekvivalent bo’lgan
quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
3
1
79
32
( )
x
x
x
x
=
−
+
=
(3.12)
Yoki
3
2
32
( )
80
x
x
x
+
=
=
(3.13)
Yoki
3
3
80
32
( )
x
x
x
=
−
=
(3.14)
Har ikkala ildiz atrofida ham
1
( )
x
lar xosilaga ega bo’lgani uchun teoremadagi
(3.6)
shartni
`
1
( )
1
x
q
shart bilan almashtirish mumkin. Endi
1
( )
x
larning qaysi biri
teorema shartini qanoatlantirishini ko’rayli,
`
3
1
( )
79
x
x
x
=
−
bo’lgani uchun har ikkala
ildiz atrofida ham
`
1
( )
1
x
demak,
(3.12)
tenglama uchun iteratsiya jarayoni
uzoqlashadi. Endi
(3.13)
tenglamani tekshiraylik,
2
2
3
( )
80
x
x
=
. Bundan
(0;0,5)
oraliqda
`
2
3
1
( )
320
100
x
q
=
ekanligini ko’ramiz, ya’ni
1
ni topish uchun
(3.13)
tenglama
iteratsiya metodini qo’llashi mumkin. Dastlabki yaqinlashishni
0
0, 5
x
=
deb olib, keying
to’rttta yaqinlashishni hisoblaymiz:
3
1
(0, 5)
32
0, 4015625;
80
x
+
=
=
2
0, 4008094;
x
=
3
0, 40080487;
x
=
4
0, 40080483;
x
=
Demak,
5
ta ishonchli raqam bilan
1
0, 40080
=
deb olishimiz mumkin ekan.
Tabiiyki,
(3.13)
tenglamada ikkinchi ildizni ham iteratsiya Metodi bilan topishga
harakay qilamiz. Lekin bu mumkin emas chunki,
(8,5;9)
oraliq uchun
`
2
( )
1
x
q
shart
bajarilmaydi. Shuning uchun ham
(3.14)
tenglamani tekshirib ko’raylik:
`
3
2
3
80
( )
3 (80
32)
x
x
=
−
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
9
2181-3187
Bundan ko’ramizki,
(8,5;9)
oraliqda ghjfksfj shu sababli
(3.14)
tenglamadan
2
ni topishimiz mumnik.
Nolinchi yaqinlashishni
0
9
x
=
deb olamiz, kyingi yaqinlashishlar quyidagi
jadvalda keltirilgan. Demak,
5
ta ishomchli raqami bilan olingan qiymat
2
8, 7371
=
ga
teng bo’ladi.
Xulosa
Oddiy iteratsiya metodi oddiy va samarali usul bo‘lib, to‘g‘ri tanlangan kanonik
shakl va boshlang‘ich taxmin asosida aniq natijalar beradi. Maqoladagi misollar orqali
ushbu metod yordamida algebraik tenglamalarning ildizlarini topish mumkinligi
isbotlandi. Biroq metodni qo‘llash uchun yaqinlashish shartlariga alohida e’tibor
qaratish lozim.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Ахмедов Х.Х. Matematik analiz. – Toshkent: “Fan va texnologiya”, 2016.
2. Буюкли Н.Н., Ҳамидов А.И. Numerik usullar. – Toshkent: O‘zMU nashriyoti,
2008.
3. Калитевский Н. Численные методы. – Москва: Высшая школа, 2001.
4. Самойленко А.М., Геворкян А.Э. Методы приближенного решения уравнений.
– Киев: Наукова думка, 1989.
5. Хомченко П.А. Краткий курс высшей математики. – Москва: Феникс, 2006.
6. Иноятов Ш.И. Matematik analiz va differensial tenglamalar. – Toshkent: TDPU,
2015.
7. Burden R.L., Faires J.D. Numerical Analysis. – Boston: Cengage Learning, 2011.
