Одна задача об отражении изгибной волны от упругого
закрепления
Ахмедов Олимжон Самадович
Ташкентский университет прикладных наук г. Ташкент, Чиланзарский район, улица Гавхар, дом 1, корпус А.
https://doi.org/10.5281/zenodo.10471151
Ключевые слова:
упругие волны, изгибные колебания, характеристические уравнения, граничные условия.
Аннотация:
В этой работе приводятся решения задачи отражения изгибных волн от кромки пластинки при
усложненных граничных условиях. Для частного случая свободной кромки, как предельный случай
отсутствия отраженной волны, получается решение задачи локализованных изгибных колебаний.
Задачам отражения упругих волн от плоской
границы среды посвящены многочисленные
исследования
[1,2,3]. Сравнительно мало работ
связаны с вопросами отражения изгибных волн от
плоской кромки тонкой пластинки [4,5].
Постановка задачи
1. Рассматривается область
−
х
,
0
у
, -h
z
h .
На кромку пластинки y
=
0 падает изгибная
волна. Требуется определить отраженную волну
при различных условиях упругого закрепления
кромки y=0.
Уравнение изгибных колебаний изотропной
пластинки по теории Кирхгофа имеет вид
D
∆
2
𝑤
+ 2gh
𝜕
2
𝑤
𝜕𝑡
2
= 0 (1.1)
где w – функция прогиба пластины, ρ –
плотность материала, D– жесткость на изгиб
D =
2𝐸ℎ
3
3(1−𝑣
2
)
(1.2)
E
−
модуль Юнга,
−
коэффициент Пуассона.
Решение задачи
Если представить решение уравнения (1.1) в
виде гармонических волн [6]
𝑤 = 𝑤
0
exp
i
(
𝜔𝑡 − 𝑘
1
𝑥 + 𝑘
2
𝑦
), (1.3)
то получается следующее характеристическое
уравнение:
𝐷(𝑘
1
2
+ 𝑘
2
2
)
2
- 2
𝜌ℎ𝜔
2
= 0 (1.4)
Из (1.4) можно определить волновое число k
2
посредством k
2
и ω в виде четырех корней [7],
где
𝑘
21
=
−𝑘
22
=
√Ω − 𝑘
1
2
,
k
23
=-k
24
=is,
S=
√Ω + 𝑘
1
2
(1.5)
Очевидно, что для существования падающей
волны необходимо условие
𝑘
1
2
,
=
(2𝜌ℎ)
1
2
𝐷
−
1
2
w (1.6)
Из (1.3) и (1.5), с учетом (1.6), следует, что
решение для падающей волны имеет вид [8]
W
n
= Aexp𝑖(ωt − k
1
x + k
21
y), k
1
≥ 0,
(1.7)
а для отраженной волны
𝑊
отр
= 𝐵𝑒𝑥𝑝𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘
1
𝑥 − 𝑘
21
𝑦) + 𝐶𝑒𝑥𝑝𝑖(𝜔𝑡 −
𝑘
1
𝑥 + 𝑘
23
𝑦)
(1.8)
Согласно (1.5), в (1.8) слагаемое с амплитудой C
является неоднородной волной, т.к. она затухает
по глубине [9,10]. Амплитуды отражённых волн
B и C должны определяться удовлетворением
граничными условиями при y
=
0 [11,12].
2. Упругое закрепление.
Рассматривается случай
W=0, D
𝜕
2
𝑤/𝜕𝑦
2
−
𝐶
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 0 ,
при y
=
0.
(2.1)
При C
2
=
0 получается случай, когда край
пластинки шарнирно закреплен. Подстановка
W
=
W
n
+
𝑊
отр
из (1.7), (1.8) в граничные условия (2.1) приводит
к системе алгебраических уравнений [13,14]
A + B + C = 0
𝑘
21
(𝑘
21
+ 𝑖𝑎)𝐴 + 𝑘
21
( 𝑘
21
− 𝑖𝑎)𝐵 + 𝑘
23
(𝑘
23
+
𝑖𝑎)𝐶 = 0
(2.2)
где α=
С
2
𝐷
−1
, Получается
B = −
2Ω+α(√Ω+k
1
2
+i√Ω−k
1
2
)
2Ω+α(√Ω+k
1
2
−i√Ω−k
1
2
)
A,
𝐶 =
2𝑖𝑎√Ω−𝑘
1
2
2Ω+𝛼(√Ω+𝑘
1
2
−𝑖√Ω−𝑘
1
2
)
А. (2.3)
При
→
0 получим B =
-A, C
=
0
–
условия Навье, при шарнирном закреплении
неоднородная волна не существует [15,16].
При
→
получим
𝐵 = −Ω
−1
(𝑘
1
2
+ 𝑖√Ω−𝑘
1
4
) 𝐴
𝐶 = −Ω
−1
( −𝑘
1
2
− 𝑖√Ω
2
− 𝑘
1
4
) 𝐴
(2.4)
3. Скользящий контакт.
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 0,
𝜕
3
𝑤
𝜕𝑦
3
− 𝐶
1
𝑤 = 0
(3.1)
Алгебраические уравнения имеют вид
𝑘
21
𝐴 − 𝑘
21
𝐵 + 𝑘
23
𝐶 = 0
,
(𝑘
21
3
+ 𝛽)𝐴 − (𝑘
21
3
− 𝛽) − (𝑘
23
3
+ 𝛽)𝐶 = 0
(3.2)
где β=
С
1
𝐷
−1
.
Получается
𝐵 =
𝑘
21
3
+𝑆
2
+2𝛽
𝑘
21
3
− 𝑆
2
A,
𝐶 =
2𝛽𝑖𝑘
21
𝑆(𝑘
21
3
− 𝑆
2
)
𝐴.
(3.3)
При
→
0 получим B = A, C
=
0. (3.4)
неоднородная волна не отражается [17].
→
B
=
2A , C =
−2𝑖√Ω − 𝑘
1
2
(3.5)
4.
Свободный
край
с
пружиной
𝑦 = 0,
𝜕
2
𝑤
𝜕𝑦
2
+ 𝑣
𝜕
2
𝑤
𝜕𝑥
2
= 0
D
[
𝜕
3
𝑤
𝜕𝑦
3
+ (2 − 𝑣)
𝜕
3
𝑤
𝜕𝑦𝜕𝑥
2
] − 𝐶
1
𝑤 = 0
(4.1)
Алгебраические уравнения имеют вид:
(𝑘
21
2
+ 𝑣𝑘
1
2
)𝐴
+
(𝑘
21
2
+
𝑣𝑘
1
2
)𝐵 + (𝑘
23
2
+ 𝑣𝑘
1
2
)𝐶 = 0
(
𝑖𝑘
21
3
+ (2 − 𝑣)𝑖𝑘
21
𝑘
1
2
+ 𝛽)𝐴 − (𝑖𝑘
21
3
+ (2 −
𝑣)𝑖𝑘
21
𝑘
1
2
− 𝛽)𝐵 + ( 𝑖𝑘
23
3
+ (2 − 𝑣)𝑖𝑘
23
𝑘
1
2
+
𝛽)𝐶 = 0
(4.2)
где β=
𝐶
−1
𝐷
−1
.
Получается
𝐵 =
−2𝑖𝛽Ω+𝑘
1
4
(𝑣−1)
2
(𝑘
21
−𝑖𝑠)+Ω
2
(𝑘
21
−𝑖𝑠)−2𝑘
1
2
Ω(𝑣−1)(𝑘
21
+𝑖𝑠)
(𝑘
21
+𝑖𝑠)[𝑘
1
4
(𝑣
2
−1)+Ω
2
+2𝑖𝑘
1
2
𝑘
21
𝑠(𝑣−1)+𝛽(𝑖𝑘
21
+1)]
A
𝐶 =
2𝑖𝑘
21
(𝑘
1
4
(𝑣−1)
2
−Ω
2
)
(𝑘
21
+𝑖𝑠)[−𝑘
1
4
(𝑣
2
−1)−Ω
2
+2𝑖𝑘
1
2
𝑘
21
𝑠(𝑣−1)+𝛽(𝑖𝑘
21
+1)]
A
(4.3)
при β→∞
𝐵 =
𝑘
1
4
(𝑣−1)
2
(𝑘
21
−𝑖𝑠)+Ω
2
(𝑘
21
−𝑖𝑠)−2𝑘
1
2
Ω(𝑣−1)(𝑘
21
+𝑖𝑠)
(𝑘
21
+𝑖𝑠)[𝑘
1
4
(𝑣
2
−1)+Ω
2
+2𝑖𝑘
1
2
𝑘
21
𝑠(𝑣−1)]
A
𝐶 =
2𝑖𝑘
21
(𝑘
1
4
(𝑣−1)
2
−Ω
2
)
(𝑘
21
+𝑖𝑠)[−𝑘
1
4
(𝑣
2
−1)−Ω
2
+2𝑖𝑘
1
2
𝑘
21
𝑠(𝑣−1)]
A (4.4)
5. Свободный край с сопротивлением
𝐷 (
𝜕
2
𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑣
𝜕
2
𝑤
𝜕𝑥
2
) − 𝐶
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 0
(5.1)
(k
21
2
+ vk
1
2
− αik
1
)A + (k
21
2
+ vk
1
2
− αik
1
)B
+ (k
23
2
+ vk
1
2
− αik
1
)C = 0
[ik
21
(k
21
2
− (2 − v)k
1)
2
]A − [ik
21
(k
21
2
− (2 −
v)k
1)
2
]B + [ik
23
(k
23
2
− (2 − v)k
1)
2
]C = 0
(5.2)
Получается
𝐵 = −[1 −
2
Ω−𝑘
1
2
−(1−𝑣)−𝑖𝛼𝑘
1
]𝐴
(5.3)
C=
2
Ω+𝑘
1
2
−(1−𝑣)+𝑖𝛼𝑘
1
𝐴
α
→ 0, 𝐵 = [
2
Ω−𝑘
1
2
(1−𝑣)
− 1]𝐴
,
𝐶 =
2
Ω∓(1−𝑣)
𝐴
(5.4)
α
→ ∞,
𝐵 = − [1 +
2
𝑖𝑘
1
] 𝐴,
𝐶 = [
2
𝑖𝑘
1
] 𝐴,
(5.5)
Заключение
Итак для частного случая свободной
кромки, как предельный случай отсутствия
отраженной волны, получены решения задачи
локализованных изгибных колебаний [18,19].
Литература
[1]
Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно
неоднородных средах и конструкциях. Ташкент:
Фан, 1992.-252с.
[2]
Ахмедов
Олимжон
Самадович.
(2023).
СВОБОДНЫЕ
ИЗГИБНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
УПРУГИХ
ТРЁХСЛОЙНЫХ
ПЛАСТИН.
Scientific Impulse, 1(10), 1650–1655.
[3]
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.:
Изд-во Московского университета, 1978, 287 с.
[4]
Axmedov,
O.
(2022).
IKKITA
BUZILISH
CHIZIG‘IGA EGA BO‘LGAN ARALASH TIPDAGI
TENGLAMA UCHUN CHEGARAVIY MASALA.
ЦЕНТР НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ (buxdu.Uz),
9(9).
[5]
Safarov, I.I., Kulmuratov, N.R., & Kuldaschov, N.U.
(2019). Diffraction of Surface Harmonic Viscoelastic
Waves on a Multilayer Cylinder with a Liquid.
Applied Mathematics, 10, pp. 468-484.
[6]
Akhmedov, O. S. (2023). Investigation of the
oscillation of an elastic rod in time taking into account
the relaxation properties of materials. ISJ Theoretical
& Applied Science, 01 (117), 672-677.
[7]
Ахмедов Олимжон Самадович.
СВОБОДНЫЕ И
ВЫНУЖДЕННЫЕ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
СИСТЕМ
ВЯЗКОУПРУГИХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК.
НАУЧНЫЙ
ВЕСТНИК БУХАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА. 2023, № 1, Стр. 30-33.
[8]
Safarov, I.I., Kulmuratov, N.R., Teshaev, M.K.,
& Kuldaschov, N.U. (2019). Interaction of No
stationary Waves on Cylindrical Body. Applied
Mathematics, 10, pp.435-447.
[9]
Axmedov, O. (2021). ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ
ОБУЧЕНИЯ,
ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ
ОСОБЕННОСТЯМИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
НАУКИ. ЦЕНТР НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ
(buxdu.Uz), 6(6).
[10]
Axmedov,
O.
(2022).
A
ЭФФЕКТИВНЫЕ
АСПЕКТЫ
ПРИМЕНЕНИЯ
ИНФОРМАЦИОННЫХ
И
КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ
ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКИ.
ЦЕНТР
НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ (buxdu.Uz), 24(24).
[11]
Axmedov, O. (2021). СТРАТЕГИИ ПОИСКА И
ПОДДЕРЖКИ ТАЛАНТЛИВОЙ МОЛОДЕЖИ, В
РАМКАХ
ПРОВЕДЕНИЯ
ОЛИМПИАД
И
ДРУГИХ
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ
СОСТЯЗАНИЙ.
ЦЕНТР
НАУЧНЫХ
ПУБЛИКАЦИЙ (buxdu.Uz), 6(6).
[12]
Axmedov, O. (2022). Основы и способы развития
речемыслительной деятельности школьников при
обучении математике: Rechemislitelnaya. ЦЕНТР
НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ (buxdu.Uz), 25(25).
[13]
Axmedov,
O.
(2022).
СОВРЕМЕННЫЕ
ТЕНДЕНЦИИ
В
ОЛИМПИАДАХ
ПО
МАТЕМАТИКЕ
ПРИ
ФОРМИРОВАНИИ
КОМПЛЕКТОВ ЗАДАНИЙ. ЦЕНТР НАУЧНЫХ
ПУБЛИКАЦИЙ (buxdu.Uz), 15(15).
[14]
Axmedov, O. (2022). Методологические основы
восприятия математических объектов. ЦЕНТР
НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ (buxdu.Uz), 8(8).
[15]
Axmedov, O. (2022). Особенности развивающих
программ в системе обучения по курсу
«Математика» в начальной школе. ЦЕНТР
НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ (buxdu.Uz), 8(8).
[16]
Axmedov, O. (2022). Методические рекомендации
по подготовке к решению нестандартных задач по
математике в олимпиадах. ЦЕНТР НАУЧНЫХ
ПУБЛИКАЦИЙ (buxdu.Uz), 8(8).
[17]
Ахмедов О. С., Маматохунова Ю. А. К. Некоторые
эффективные методы обучения математике
//Science and Education. – 2022. – Т. 3. – №. 1. – С.
790-797.
[18]
Ахмедов О. С., Куронбоев У. Г. У., Норбоев Ж. Б.
Психолого-педагогическое обоснование понятия
«познавательный интерес» //Science and Education.
– 2022. – Т. 3. – №. 1. – С. 784-789.
[19]
Ахмедов О. С., Мусабеков Ф. М. У., Кодиров У. Ш.
У.
Методические
подходы
развивающего
обучения по математике //Science and Education. –
2022. – Т. 3. – №. 1. – С. 777-783.
