138
YUQORI DARAJALI TENGLAMALARNI YECHISH
Xurshida Nabijonovna Yigitaliyeva
Uchko‘prik tumani 1-son kasb-hunar
maktabi matematika fanidan o‘qituvchisi
https://doi.org/10.5281/zenodo.10644165
Annotatsiya
. Bikvadrat tenglamalar, o‘zaro teskari ifodalarni o‘z ichiga oluvchi tenglama,
to‘liq kvadrat ajratish usuli, qaytma tenglamalar haqida ushbu maqolada ma’lumotlar berilgan,
hamda yuqori darajali tenglamalarni yechish usullari tadqiq etiladi.
Kalit so‘zlar:
tenglama, ildiz, tenglama, daraja, bo‘lsa, bo‘lish.
SOLVING HIGHER DEGREE EQUATIONS
Abstract.
Information about biquadratic equations, equations containing reciprocal
expressions, full square separation method, inverse equations is given in this article, and methods
of solving higher order equations are studied.
Key words:
equation, root, equation, degree, if, division.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ
Аннотация.
В статье приведены сведения о биквадратных уравнениях, уравнениях,
содержащих обратные выражения, методе полноквадратного разделения, обратных
уравнениях, а также изучены методы решения уравнений высших порядков.
Ключевые слова:
уравнение, корень, уравнение, степень, если, деление.
1. Bikvadrat tenglamalar.
Noma’lumning toq darajalari qatnashmagan to‘rtinchi darajali butun algebraik ratsional
tenglama bikvadrat tenglama deyiladi.
Har qanday bikvadrat tenglamani shakl almashtirishlardan keyin quyidagi kanonik
ko‘rinishga keltirish mumkin:
(1)
Agar (1) tenglamada
almashtirishni bajarsak,
kvadrat
tenglama yuzaga keladi. Bu tenglamaning ildizlari
formulalar bo‘yicha topiladi.
)
0
(
0
2
4
a
c
bx
ax
y
x
2
0
2
c
by
ay
a
ac
b
b
y
a
ac
b
b
y
2
4
,
2
4
2
2
2
1
139
Agar
bo‘lsa, u
holda (1) bikvadrat tenglama to‘rtta ildizga ega bo‘ladi:
(2)
1-misol.
tenglamani yechishda (2) formuladan foydalanamiz:
Javob: -3; -2; 2; 3.
2. O‘zaro teskari ifodalarni o‘z ichiga oluvchi tenglama.
Bunday tenglamalar
(3)
ko‘rinishga ega bo’ladi. (3) tenglama
almashtirishlar bilan t ga
nisbatan kvadrat tenglamaga keltiriladi:
(4)
tenglama
ildizlarga ega bo‘lsa, u holda quyidagi ikkita tenglamani olamiz:
Bu tenglamalar
shartida (3) tenglamaga teng kuchli bo‘ladi.
2-misol.
tenglamani yechish:
)
0
,
0
4
,
0
,
0
0
,
0
4
,
0
,
0
(
0
,
0
2
2
2
1
b
ac
b
c
a
yoki
b
ac
b
c
a
y
y
.
2
4
,
2
4
2
4
,
3
2
2
,
1
a
ac
b
b
x
a
ac
b
b
x
0
36
13
2
4
x
x
.
3
9
2
5
13
2
144
169
13
;
2
4
2
5
13
2
144
169
13
4
,
3
2
,
1
x
x
c
x
f
x
b
x
x
f
a
)
(
)
(
)
(
)
(
t
x
f
x
t
x
x
f
1
)
(
)
(
,
)
(
)
(
.
0
1
2
b
ct
at
c
t
b
at
2
1
t
va
t
.
0
)
(
)
(
,
0
)
(
)
(
2
1
x
t
x
f
x
t
x
f
0
)
(
)
(
x
x
f
9
,
2
1
1
2
2
x
x
x
x
140
Tenglamaning
aniqlanish
sohasiga
faqat
x=0
soni
kirmaydi.
Agar
bo‘ladi. Bundan t ga nisbatan
kvadrat tenglamaga keltiriladi. Uning ildizlarini topamiz:
1)
tenglamani olamiz. Bu tenglamaning ildizlarini
topamiz:
;
2)
tenglamani hosil qilinadi, uning ildizlari
bo‘ladi.
Javob:
3.To‘liq kvadrat ajratish usuli.
Ba’zi bir to’rtinchi darajali tenglamalarni to‘liq kvadrat ajratish bilan kvadrat tenglamaga
keltirib yechish mumkin. Buni misol orqali ko‘ramiz.
3-misol.
tenglamani yechish:
Tenglamaning chap qismidan to‘liq kvadrat ajratiladi:
Agar
tenglamani hosil
qilinadi, uning ildizlarini topiladi:
.
1)
bo‘lganda
tenglamani keltiriladi, uning ildizlarini topiladi:
.
2)
bo’lganda
tenglamani hosil qilinadi va uning ildizlarini
topiladi:
.
Javob:
4.Qaytma tenglamalar.
t
x
x
desak
t
x
x
1
1
,
1
2
2
0
1
9
,
2
9
,
2
1
2
t
t
t
t
.
5
,
2
,
4
,
0
2
1
t
t
0
5
2
5
lg
'
5
2
2
1
x
x
anda
bo
t
5
6
2
1
,
5
6
2
1
2
1
i
x
i
x
0
5
5
2
lg
'
2
5
2
2
x
x
anda
bo
t
2
1
;
2
4
3
x
x
.
5
6
2
1
;
5
6
2
1
;
2
1
;
2
4
3
2
1
i
x
i
x
x
x
0
15
28
10
4
2
3
4
x
x
x
x
.
0
15
)
2
(
14
)
2
(
,
0
15
28
14
4
4
2
2
2
2
2
3
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
15
14
tan
,
2
2
2
t
t
nisba
ga
t
desak
t
x
x
15
,
1
2
1
t
t
1
1
t
0
1
2
2
x
x
1
2
,
1
x
15
2
t
0
15
2
2
x
x
5
,
3
4
3
x
x
.
5
,
3
,
1
4
3
2
1
x
x
x
x
141
Ushbu
Ko‘rinishdagi butun algebraik tenglama qaytma tenglama deyiladi. Bunda tenglamaning
boshidan va oxiridan bir xil uzoqlikda yotgan hadlarning koeffitsientlari bir-biriga teng bo‘ladi.
Qaytma tenglamaning ildizlaridan hech biri nolga teng emasligini ko‘rish oson.
Agar x=0 tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda biz a=0 ga ega bo‘lamiz va tenglamaning
darajasi pastroq bo‘ladi.
Oldin juft (n=2k) darajali qaytma tenglamani qaraymiz.
Tenglamaning har ikkala qismini
ga bo‘lib, hadlarni guruhlash natijasida uni quyidagi
ko‘rinishga keltiramiz:
(5)
Agar (5) tenglamada
desak, ketma-ket quyidagilarni topamiz:
(6)
(6) ni (5) ga qo‘yib, y ga nisbatan k darajali tenglamani hosil qilamiz. x ning qiymatlarini
esa
tenglamadan topamiz.
Toq darajali (n=2k+1) qaytma tenglamani yechish juft darajali qaytma tenglamani
yechishga keltiriladi.
Ushbu
tenglamaning x=-1 ildizga ega ekanligini ko‘rish qiyin emas. Demak, buning chap qismi
x+1 ga bo‘linadi. Tenglamaning ikkala qismini har biri x+1 ga bo‘linadigan qo‘shiluvchilar
yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanadi:
Shunday qilib, masala juft ko‘rsatkichli ushbu
qaytma
tenglamani yechishga keltiriladi.
Qaytma tenglamaning yana o‘ziga xos bir xususiyati bor. Agar
soni qaytma
tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda
soni ham shu tenglamaning ildizi bo‘ladi.
0
...
2
2
1
a
bx
cx
cx
bx
ax
n
n
n
k
x
.
0
)
1
(
...
)
1
(
)
1
(
1
1
f
x
x
l
x
x
b
x
x
a
k
k
k
k
y
x
x
1
.
...
;
3
1
;
2
1
3
3
3
2
2
2
y
y
x
x
y
x
x
0
1
2
yx
x
0
...
2
1
2
2
1
2
a
bx
cx
cx
bx
ax
k
k
k
.
0
)
...
)(
1
(
,
0
)
1
(
...
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
2
1
2
3
2
2
1
2
1
2
a
x
b
x
b
ax
x
x
lx
x
cx
x
bx
x
a
k
k
k
k
k
k
0
...
1
1
2
1
2
a
x
b
x
b
ax
k
k
0
x
x
0
1
x
x
142
4-misol.
tenglamani yechish:
Tenglamaning har ikkala qismini
ga bo‘linadi:
Agar
bo‘ladi. Natijada t ga
nisbatan tenglamaga ega bo‘linadi:
Bu tenglama ikkita tenglamaga ajraladi: t
1
=o va 21t
2
+82t+40=0. Bu tenglamalarni yechib,
ildizlarni topiladi: t
1
=0,
Agar: 1) t
1
=0 bo‘lsa,
tenglamaga ega bo‘linadi Uning
ildizlari: x
1
=-i, x
2
=i.
2)
bo‘lsa, 7x
2
+4x+7=0 tenglamaga ega bo‘linadi. Uning ildizlari:
3)
bo‘lsa, 3x
2
+10x+3=0 tenglama hosil bo‘ladi. Uning ildizlari:
Javob:
Ushbu
tenglama qaytma tenglama bo‘lishi uchun uning koeffitsientlari quyidagicha bog‘langan
bo‘lishi kerak:
0
21
82
103
164
103
82
21
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
3
x
.
0
164
)
1
(
103
)
1
(
82
)
1
(
21
2
2
3
3
x
x
x
x
x
x
t
t
x
x
t
x
x
desak
t
x
x
3
1
;
2
1
,
1
3
3
3
2
2
2
.
0
)
40
82
21
(
0
40
82
21
2
2
3
t
t
t
t
t
t
.
3
10
;
7
4
3
2
t
t
0
1
0
1
2
x
x
x
7
4
2
t
;
7
5
3
2
;
7
5
3
2
4
3
i
x
i
x
3
10
3
t
.
3
;
3
1
6
5
x
x
.
3
;
3
1
;
7
5
3
2
;
7
5
3
2
;
;
6
5
4
3
2
1
x
x
i
x
i
x
i
x
i
x
)
0
(
0
2
3
4
l
l
dx
cx
bx
ax
.
,
2
a
l
b
d
143
Bunday holda berilgan tenglama
almashtirish bilan kvadrat tenglamaga
keladi.
Ushbu
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m (7)
tenglamani qaytma tenglamaga keltirish uchun uning koeffitsientlari orasida a+b=c+d
(yoki a+c=b+d, yoki a+d=b+c) tenglik bajarilishi kerak.
Ushbu
(x+a)
4
+(x+b)
4
=c (8)
Ko‘rinishdagi tenglama
(9)
almashtirish bilan bikvadrat tenglamaga keltiriladi. Haqiqatan, berilgan tenglamada
x+a=t+m, x+b=t-m almashtirishlarni bajarsak, a-b=2m,
bo’ladi. Bunday holda
. Natijada (8) tenglama t ga nisbatan quyidagi
ko‘rinishni oladi:
Bu tenglamani soddalashtirgandan keyin esa
bikvadrat tenglamani olamiz.
Ushbu
(10)
ko‘rinishdagi tenglama
(11)
almashtirish bilan kvadrat tenglamaga keladi. Agar c=0 bo‘lsa, u holda (10) tenglama
x
1
=0 ildizga ega bo‘ladi. Qolgan ildizlari x ga nisbatan kvadrat tenglamaga keltirib topiladi.
x
x
y
2
b
a
t
x
2
b
a
m
2
2
b
a
t
x
yoki
b
a
t
a
x
.
2
2
4
4
c
b
a
t
b
a
t
2
2
2
6
4
2
2
4
c
b
a
t
b
a
t
c
q
mx
px
bx
q
nx
px
dx
2
2
t
x
q
px
144
Agar
bo‘lsa, u holda
bo‘lib, bunday holda (10) tenglama chap qismining
surat va maxrajini x ga bo‘lib, uni
ko‘rinishga keltiriladi. Bu
tenglamada
almashtirish bajarilsa,
tenglamani olinadi. Oxirgi
tenglama
shartlarda ct
2
+(mc+nc-a-b)t+mnc-am-bn=0 kvadrat tenglamaga keladi.
Xulosa qilib aytganda, yuqori darajali tenglamalarni yechish usullarida formulalardan
foydalanib yechish muhim ahamiyatga ega. O‘qituvchidan o‘quvchilarga tushunishi uchun qulay
usullardan foydalanib o‘rgatish talab qilinadi.
Jumladan, Qaytma tenglamalar, ya‘ni boshidan o‘rta hadigacha bo‘lgan koeffitsiyentlar
o‘rta haddan keyin teskarisiga takrorlanadigan yuqori darajali tenglamalarni qanday usullarda
yechish, kvadrat tenglamani ba‘zi xususiy hollariga oid misollarni yechish, uchinchi darajali
tenglamalarni Kardano formulasi yordamida yechish, to‘rtinchi darajali tenglamalarni Ferrari
usulida yechish, kvadrat tenglamaga keltiriladigan yuqori darajali tenglamalar, Bezu teoremasi,
Gorner sxemasi, ko‘phadning ildizlari, algebraik tenglamalarning kompleks ildizlari, butun
koeffitsientli ko‘phadning butun va rastional ildizlari, tenglamalarning radikallarda yechilish
tushunchasi va tenglamalarni taqribiy yechish haqida asosiy tushunchalar keltirib o‘tilgan va
ularga oid misollardan namunalar yechib ko‘rsatildi.
REFERENCES
1.
Usmonov F.R, Isomov R.D, Xo‘jayev B.O:‖Matematikadan qo‘llanma‖ 1-qism Toshkent
:―Yangi asr avlodi‖ -2006. 120-131-betlar.
1.
https://packpdf.com/doc/math/991-yuqori-darajali-tenglamalar-va-ularni-yechish
2.
https://fayllar.org/kurs-ishi-mavzu-tenglamalarni-kvadrat-radikallarda-yechish-
baj.html?page=9
0
с
0
x
c
x
q
m
px
b
x
q
n
px
a
t
x
q
px
c
m
t
b
n
t
a
m
t
n
t
,
