364
Yechish.
O‗rta arifmetik va o‗rta geometrik miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligi va
uchun
yoki
tengsizliklarni o‘rinli
ekanligini e‘tiborga olib,
munosabatni hosil qilamiz.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‗yxati:
1.
A.J.Noriyeva. Matematika darslarida o‘quvchilarning kreativ qobiliyatlarini
rivojlantirishda nostandart misol va masalalardan foydalanish. ―O‘zbekistonda ilmiy-amaliy
tadqiqotlar‖ 2020 y.
2.
A.J.Noriyeva. Matematika darslarida o‘quvchilarning kreativ qobiliyatlarini
rivojlantirishda nostandart misol va masalalarning ahamiyati. ―Ilm-fan va ta‘limda innovatsion
yondashuvlar, muammolar, taklif va yechimlar‖ 2020 y.
TENG QADAMLAR UCHUN NYUTONNING 1-INTERPOLYATSION FORMULASI
UCHUN ALGORITM VA DASTURIY TA‘MINOT YARATISH
Xandamov Yigitali Xolmirza oʻgʻli
Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
‖Amaliy matematika‖ kafedrasi oʻqituvchisi
Nuraliyev Toʻlqin Alimardonovich
Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
‖Amaliy matematika‖ kafedrasi oʻqituvchisi
Annotatsiya:
Ko‘p hollarda funksiyaning analitik ko‘rinishi berilmasdan tajribadan
olingan qiymatlari berilgan bo‘ladi. Bu hollarda uning o‘zgarish qonuniyatlarini chiqarish
uchun uning yaqin bo‘lmagandagi yani bir nechta nuqtalardagi qiymatini topishga to‘g‘ri
keladi, ana shunda interpolyatsiyalash yordamga keladi.
Kalit soʻzlar:
interpolyatsiya, matematik modellashtirish, sonli usullar, Nyuton
interpolyatsion formulalari, ko‘phad, tugun nuqta.
Masalaning dolzarbligini rejalashtirishda, ob-havoni oldindan aytishga , yer-boyliklarini
aniqlashda funksiyaning bir nechta nuqtalardagi qiymatlaridan foydalanishga to‘g‘ri keladi. Ana
shu tomonlarga asoslanib matematik modellashtirish va kompyuterli modellashtirishdan
foydalanib masalaning matematik qonuniyatini kompyuterda chiqarish dolzarb masala bo‘lib
turibdi. Mazkur maqola ana shu dolzarb masalalarni yechishda interpolyatsion formulalardan
foydalanish texnologiyasiga bag‘ishlangan[1].
Aksariyat hisoblash metodlari masalaning qo‘yilishida ishtirok etadigan funksiyalarni
unga biror, muayyan ma‘noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo‘lgan funksiyalarga almashtirishga
asoslangan.
365
Ushbu maqalada funksiyalarning yaqinlashtirish masalasining eng sodda keng
qo‘llaniladigan qismi –
funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasi
ko‘rib chiqiladi.
Quyida [
a,b
] kesmada kiritilgan teng qadamli, ya‘ni yonma-yon turgan tugun
nuqtalarining orasidagi masofa h o‗zgarmas bo‗lgan,
n
to‗rda qiymatlari berilgan
f
(x) funktsiya
uchun interpolyatsiyalash ko‗phadini qurish masalasini qaraymiz. Bu ko‗phadni Lagranj
interpolyatsiyalash ko‗phadi sifatida ham qurish mumkinligi aniq. Ammo bu yerda qurish
jihatidan Lagranj interpolyatsiyalash ko‗phadidan soddaroq bo‗lgan Nyuton interpolyatsiyalash
ko‗phadlarini qurish usulini beramiz.
Avvalo, chekli ayirmalar tushunchasini kiritamiz. Agar teng h qadamli
n
to‗rda
f
(x)
funktsiyaning qiymatlari
f
(x
i
)=y
i
(i=0,1,2,…, n)
(3)
berilgan bo‗lsa
y
i
=y
i+1
- y
i
(i=0,1,2,…, n-1)
ayirmalar 1-tartibli chekli ayirmalar,
2
y
i
=
y
i+1
-
y
i
(i=0,1,2,…, n-2)
ayirmalar 2-tartibli chekli ayirmalar va hokazo
m
(y
i
)=
m-1
y
i+1
-
m+1
y
i
(i=0,1,2,…,n-m), (m
n)
ayirmalar m-tartibli chekli ayirmalar deb yuritiladi. Chekli ayirmalarning ta‘rifidan ko‗rinadiki,
n
to‗rda berilgan funktsiyaning
y,
2
y, ….,
n
y chekli ayirmalari mavjud bo‗lib, n-dan yuqori
tartibli chekli ayirmalari yo‗qdir.
Teng qadamli
n
to‗rda berilgan funktsiyaning interpolyatsiyalash ko‗phadini
P
n
=a
0
+a
1
(x-
x
0
)+
a
2
(x-x
0
)(x-x
1
)
+a
2
(x-x
0
)(x-x
1
)(x-x
2
)
+…+a
n
(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
n-1
) (4) ko‗rinishda izlaylik. U
holda (4) da (3) ga asosan koeffisentlarni quyidagicha aniqlaymiz.
X
Koeffitsentlarni aniqlash
Koef
fitsentlar
x=x
0
y
0
=a
0
a
0
=y
0
x=x
1
y
1
=a
0
+a
1
h,
h
y
h
y
y
a
!
1
0
0
1
1
h
y
a
!
1
0
1
x=x
2
y
2
=a
0
+a
1
(x
2
-x
0
)+
a
2
(x
2
-x
0
)(x
2
- x
1
)
y
2
=y
0
+
h
y
!
1
0
2
h
+
a
2
2hh, y
1
+
y
1
=u
0
+2
y
0
+
2a
2
h
2
,
y
0
+
y
0
+
y
1
=y
0
+
2
y
0
+
2a
2
h
2
,
y
1
-
y
0
= 2a
2
h
2
,
2
y
0
= 2a
2
h
2
2
0
2
2
!
2
h
y
a
…
…
…
x=x
n
y
n=
a
0
+a
1
(x
n
-x
0
)+
a
2
(x
n
–x
0
)( x
n
– x
1
)+...+
a
n
(x
n
-x
0
)( x
n
– x
1
)...(x
n
-x
n-1
)
y
n
=y
0
+
h
y
!
1
0
2
h
+
2
0
2
!
2
h
y
2hh+
3
0
3
!
3
h
y
6hhh+…+
1
2
3
…
n
a
n
hh...h
n
n
n
h
n
y
a
!
0
Topilganlarni (4) ga qo‗ysak,
)
)....(
(
!
...
)
)(
(
!
2
)
(
!
1
)
(
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
n
n
n
n
x
x
x
x
h
n
y
x
x
x
x
h
y
x
x
h
y
y
x
P
(5)
ni olamiz. Bu formula
Nyutonning birinchi – interpolyatsiyalash ko‗phadi
deb yuritiladi[2].
1-masala.
Quyidagi
x
y
ln
funksiya asosida tuzilgan
x
2
3
4
5
y
0.6931
1.0986
1.3863
1.6094
jadvaldan foydalanib Nyutonning birinchi interpolyatsion ko‗phadini toping va bu ko‗phadlar
yordamida ln3.5 ni hisoblang.
Yechish: 1.
Yuqoridagi ma‘lumotlardan foydalanib chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz.
X
Y
y
2
y
3
y
2
3
0,6931
1,0986
0,4055
0,2877
-0,1178
-0,0646
0,0532
366
4
5
1,3863
1,6094
0,2231
2.
Nyutonning
birinchi
interpolyatsion
ko‗phadini
n=3
bo‘lgan
hol
uchun
yozamiz
)
(
)
)(
(
!
3
)
)(
(
!
2
)
(
!
1
)
(
2
1
0
3
0
3
1
0
0
2
0
0
0
3
x
x
x
x
x
x
h
y
x
x
x
x
h
y
x
x
h
y
y
x
P
Hosil bo‗lgan formula va chekli ayirmalar jadvalidan foydalanib quyidagi ko‘phadni olamiz
.
)
4
(
)
3
)(
2
(
00886
,
0
)
3
)(
2
(
0589
,
0
)
2
(
4055
,
0
6931
,
0
)
(
3
x
x
x
x
x
x
x
P
3. Yuqorida topilgan ko‘phadga x=3,5 nuqtani qo‘yib hisoblaymiz:
1.25385
)
(
3
x
P
Natijani olamiz, ko‘rinib turiptiki Nyuton interpolyatsion ko‘phadi ham funksiyaning qiymatini
aniq hisoblaydi.
Berilgan masalani yechishda (5) formuladan foydalangan holda Python dasturlash tilida
dasturi quyida keltirilgan:
def fak(n):
p=1
for i in range(n):
p*=(i+1)
return p
if __name__ == '__main__':
n=int(input('n ni kiriting '))
x=[]
for i in range(n):
x.append (float(input('x= ')))
y=[]
for i in range(n):
y.append(float(input('y= ')))
dely=[]
dely.append(y[0])
m=n-1
for j in range(n-1):
for i in range(m):
y[i]=(y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i])
dely.append(y[0])
m-=1
X=float(input('x nuqtani kiriting '))
Y=0
for i in range(n):
p=1
for j in range(i):
p*=X-x[j]
Y+=(dely[i]*p)/fak(i)
print(Y)
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
1.
E.M. Mirzakarimov., Sonli hisoblash usullari va dasturlash(o‗quv qo‗llanma).,
2009y., 382 bet
2.
Xandamov,
Y.
(2020).
Система
моделирования
разрешения
и
совершенствования непрерывного образования. Архив Научных Публикаций JSPI.
367
3.
Xandamov, Y., & Shodmonqulov, M. (2020). BIR JINSLI PLASTINKANI
SIMMETRIK QIZDIRISH VAQTINI OPTIMALLASHTIRISH MASALASI. Архив
Научных Публикаций JSPI.
4.
Ganiev, E., Shodmonkulov, M., Khandamov, Y., & Eshonqulova, S. H. ECONOMIC
MATHEMATICAL MODELING OF THE REGIONAL SYSTEM OF PROFESSIONAL
EDUCATION IN THE REPUBLIC OF UZBEKISTAN.
5.
Шодмонкулов, М. Т., & Хандамов, Й. Х. (2020). ВОПРОС ОПТИМИЗАЦИИ
ВРЕМЕНИ СИММЕТРИЧНОГО НАГРЕВАНИЯ ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНКИ.
International scientific review, (LXX).
6.
Shodmonqulov, M. T. O., & Xandamov, Y. X. O. (2021). Kvazichiziqli issiqlik
otkazuvchanlik tenglamasi uchun qoyilgan boshlangich chegaraviy masalani yechish.
Academic research in educational sciences, 2(3).
7.
Xandamov Y., Shodmonqulov M. BIR JINSLI PLASTINKANI SIMMETRIK
QIZDIRISH VAQTINI OPTIMALLASHTIRISH MASALASI //Архив Научных
Публикаций JSPI. – 2020.
БЎЛАЖАК ЭНЕРГЕТИК МУҲАНДИСЛАРНИ ТАЙЁРЛАШДА МАТЕМАТИКА
ФАНИНИНГ ТУТГАН ЎРНИ
Ҳафизов Эркин Алимбой ўғли
Ўзбекистон Миллий университетининг Жиззах филиали
―Биотехнология‖ кафедраси ассистенти
Аннотация:
Ушбу мақолада
бўлажак энергетикларни тайѐрлаш жараѐнида
математика фанининг
мутаҳассислик фанлар билан интеграцалашуви ҳақида сўз боради
.
Калит сўзлар:
Муҳандис, энергетик, таълим, бўлажак.
Бунунги кунда энергетика мамлакатнинг иқтисодий-ижтимоий ривожланишининг
пойдевори ҳисобланади. Ер юзида аҳоли сонининг ортиб бораѐтганлиги ва энергетик
ресурслар заҳирасини эса камайиб бориши айрим мамлакатларнинг энергия таъминотида
бугунги кундаѐқ муайян муаммолар туғдирмоқда. Инсоният учун зарур бўлган энергия
турлари орасида электр энергияси универсаллиги, истеъмолчиларга юқори тезликда ва
қулай етказиб берилиши, экологик софлиги ва бошқа сифатлари жихатларидан
иқтисодиятнинг барча секторларида, хизмат кўрсатиш соҳаларида ва аҳоли тамонидан
кенг фойдаланиб келинади. Мамлакатимизда энергетиканинг ривожланиши агрегатлар ва
электр станцияларининг биргаликдаги қувватини ошириш, электр узатиш линияларининг
қувватини ошириш йўлида бир қанча салмоқли ишлар олиб борилган [1]. Бу эса кўплаб
электр муаммоларини ҳал қилишнинг янги, илғор усулларини ишлаб чиқишни талаб
қилади. Техника олий таълим муассасаларида таҳсил олаѐтган бўлажак энергетик
муҳандисларни тайѐрлашда фанлараро интеграцияси ўта аҳамиятлидир. Айниқса
математика фани ва мутахассислик фанларнинг узвийлик жиҳатларини мисол тариқасида
айтишимиз мумкин. Масалан: Замонавий электр тизимларини лойиҳалаш ва ишлатишда
эҳтимоллик назарияси ва математик статистика тобора биринчи ўринга чиқмоқда. Кўп
сонли электр станциялари, электр тармоқлари ва шаҳарлараро узатмаларнинг ишлашини
таҳлил қилиш ва баҳолаш эҳтимол ва статистик ѐндашувни талаб қилади. Қоида
тариқасида, тасодифий омилларга боғлиқ бўлган энергия тизимининг ускуналари
элементларининг носозликларини тасодифий ҳодисалар деб ҳисоблаш мумкин. Шу
муносабат билан бу эҳтимоллик математика назариясига асосланган ҳолда қувват
тизимларининг ишончли ишлашини таҳлил қилиши керак. Элементларнинг носозликлари
нафақат тасодифий характерга эга, балки бузилишларнинг оқибатлари ҳам эҳтимоллар
назарияси усулларидан фойдаланиш билан аниқланади. Шунингдек, юқори волтли
