338
yo'riqlari va bolalarning kichik guruhlardagi o'quv hamkorligini tashkil etish, guruhni
o'qituvchiga savollar berishda tashabbus ko'rsatishga undash orqali ta'minlanadi. Yuqori sinfda
o‘quvchi o'quv faoliyatini imkon qadar mustaqil ravishda amalga oshirishga qodir bo'ladi, agar
kerak bo'lsa, u o'z tengdoshlari va o'qituvchi bilan o'zini rivojlantirish, individual ta'lim
tashabbusini ko'rsatish, o'qituvchining pozitsiyasini egallash uchun o'zaro munosabatlarni qurishi
mumkin[3].
Turli ta‘lim bosqichlarida matematik ta‘limning yuqori darajasining asosini kengroq
ma‘noda yosh avlodning matematik savodxonligi tashkil etadi. Shu bois maktab o‗quvchilarini
matematika savodxonligi bilan ta‘minlash maktabdagi matematika ta‘limining sifat omilini
ta‘minlashning ustuvor yo‗nalishi hisoblanadi. Kengroq ma'noda matematik savodxonlik
tushunchasi 20-asr oxirida o‘quvchilar yutuqlarini baholash xalqaro assotsiatsiyasi (IEA)
tadqiqotlarida shakllana boshladi. Ushbu tadqiqotlarda matematik savodxonlik "o'rta maktab
bitiruvchilarining hayotiy muammolarni hal qilishga tayyorligi, ularni hal qilish uchun ma'lum
matematik bilimlardan foydalanish kerakligi" tushunilgan.
―Savodxonlik‖ atamasining o‗zi bu tadqiqotda o‗ziga xos mazmunga ega. Bu yerda
savodxonlik deganda bu bilimlarni maktab o‗quv dasturi talablari doirasida o‗zlashtirish emas,
balki matematik bilim va ko‗nikmalardan funksional foydalana olish tushuniladi va bu
qobiliyatni "funksional matematik savodxonlik" deb atash mumkin.
Hozirgi kunda maktab o‘quvchilarining funksional matematik savodxonligini oshirish
orqali ularda faqat matematik bilim va qonuniyatlarni o‘rganibgina qolmasdan balki, o‘rganilgan
bilimlarini kundalik hayotda duch keladigan muammolarni matematik yo‘l bilan hal qilishi, o‗zi
yashayotgan dunyoda matematikaning o‗rnini aniqlash va tushunish, asosli matematik
mulohazalarni ifodalash va matematikadan kundalik hayotda foydalanish qobiliyati shakllanadi.
Funksional matematik savodxonlikning muhim tarkibiy qismi matematikadan turli vaziyatlarda
foydalanish hisoblanadi. Ya‘ni o‗quvchilarda matematika kundalik ehtiyojlardan yiroq, degan
taassurot qolmasligi uchun matematik sezgi va bilimlardan turli vaziyatlarda foydalanish kerak.
Agar matematikani o'qitish faol bilimli fuqaroni tayyorlash bo'lsa, u atrof-muhitning ifloslanishi,
transport oqimlari, atmosfera ifloslanishi va boshqalar kabi zamonaviy hodisalar bilan
kurashishga tayyor bo'lishi kerak.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
1. Кагазбаева А.К. Методика конструирования тестовых заданий по математике в
контексте с международными исследованиями PISA. Методическое пособие. -Актобе:
ред.-изд.отдел филиала АО НЦПК «Ӛрлеу», 2015-120 с.
2. Ковалева Г.С., Красновский Э. А., Краснокупитская Л. П., Краснянская К. А.
Международная программа PISA. Примеры заданий по чтению, матнматике и
естествознанию. Центр оценки качества образования ИОСО РАО. Москва- 2000 г, 99 ст.
3. Parmanov A.A. Matematika fanidan PISA xalqaro tadqiqotlari natijadorligini
oshirishda malaka oshirish kurslarining o‘rni. Innovative approach to the system of teacher
training: international experience and future strategies. Guliston. 2022 yil.
S.N. BERNSHTEYNNING LOKAL TENGSIZLIGI
Musayev Abdumannon Ochilovich
Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
―Amaliy matematika‖ kafedrasi dotsenti
Annotatsiya:
Ushbu maqolada S.N. Bernshteyn tengsizliginig biror tayin nuqta
atrofidagi lokal analogi isbotlangan.
339
Kalit soʻzlar:
Trigonometrik ko‘phad, trigonometrik ko‘phad ildizlari, nuqtaning –
atrofi, ikki karrali maxsus integral.
1961-yil nashr etilgan N.K.Barining ―Тригонометрическй ряды‖ monografiyasida
trigonometrik ko‗phadlar uchun S.N.Bernshteyn tengsizligi deb ataluvchi teorema keltiradi (47
bet).
Teorema
(S.N. Bernshteyn [1]). Agar
- tartibi n dan katta bo‗lmagan trigonometrik
ko‗phad bo‗lib va ixtiyoriy
uchun
tengsizligi bajarilsa, u holda
uchun
tengsizlik o‗rinli.
I.I. Privalov
quyidagi
tengsizligini isbotlagan, bu yerda
va o‗zgarmas son faqat
larga bog‗liq.
Bu tengsizlik S.N.Bernshteyn tengsizliginig local analogi deyiladi.
D. Jackson [4] bu tengsizlikni I.I.Privalovga bog‗liq bo‗lmagan holda qayta isbotlagan.
berilgan nuqta. Quyidagi belgilashni kiritamiz:
Odata bu to‗plam nuqtaning ― – atrofi‖ deyiladi.
Bu maqolada quyidagi teorema isbotlangan.
Теорема
.
Agar
- tartibi n dan katta bo‗lmagan trigonometrik ko‗phad bo‗lib va
ixtiyoriy
uchun
tengsizligi bajarilsa, u holda
uchun
tengsizlik o‗rinli, bu yerda o‗zgarmas son , - larga bog‗liq emas
.
Bu teoremani isbotlashdan oldin quyidagi lemmani isbotlaymiz.
Лемма
.
Agar
- tartibi n dan katta bo‗lmagan trigonometrik ko‗phad bo‗lib va
ixtiyoriy
uchun
340
va shunday
topilib
bo‗lsa, u holda
lar uchun
tengsizligi o‗rinli.
Isbot
. Quyidagi belgilashni kiritamiz
va faraz qilaylik, lemma o‗rinli bo‗lmasin. U holda shunday
topiladiki
, ya‘ni
Faraz qilaylik,
(agar
bo‗lsa, u holda
o‗rniga
oraliqni qaraymiz) bo‘lsin.
funksiya tartibi dan katta bo‗lmagan trigonometrik ko‗phad
bo‗lib,
oraliqda
dan ko‗p bo‗lmagan ildizlarga ega. Yuqoridagi farazimizga ko‗ra
funksiya
dan ko‗p bo‗lmagan ildizlarga ega ekanligini ko‗rsatamiz. Haqiqatdan
ham, ixtiyoriy lar uchun quyidagi munosobat o‗rinli:
Agar
bo‗lsa, u holda
, agar
bo‗lsa, u holda
bo‗ladi. Demak ixtiyoriy lar uchun
va
, shuning uchun
kesmada
funksiya ildizga ega. Bundan tashqari
oraliqda yotuvchi har bir
kesmalarda bittadan ildizlar mavjud,
chunki kesma chetlarida har xil ishoralarga ega yoki nolga teng. Shunday qilib,
funksiya
dan kam bo‗lmagan ildizlari borligini bildik. Bundan tashqari
da karrali ildizi
mavjud, ya‘ni
va
ifodada nuqta
funksiyaning maksimum nuqtasi bo‗lganligi uchun
. Demak,
.
Shunday qilib,
trigonometrik ko‗phad
ta ildizlarga ega, bu esa qarama-
qarshilikka olib keladi. Lemma isbotlandi.
Endi teoremani isbotlaymiz. Teorema shartiga ko‗ra
uchun
341
Quyidagicha belgilash kiritamiz
Faraz qilaylik,
to‗plamda shunday nuqta mavjudki, bu nuqtada
trigonometrik ko‗phad maksimumga erishsin, ya‘ni
U holda yuqorida isbot qilingan lemmaga asosan
tengsizligini qanoatlantiruvchi
lar uchun quyidagi tengsizlik o‗rinli:
Unda
Bu erdan
Biroq,
uchun
ekanliligini e‘tiborga olsak quyidagini olamiz
Shunday qilib,
bu yerda o‗zgarmas son , - larga bog‗liq emas.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
8.
Н.К.Бари. Тригонометрические ряды, Гос.издат.Физ-мат. Москва, 1961, 936 стр.
342
9.
С.Н.Бернштейн. О наилучшем приближении непрерывных функций
посредством многочленов данной степени, Сообщ. Харьк. Математич. о-ва (2),13 (1912),
49-144 стр.
10.
И.И.Привалов. Интеграл Cauchy, Саратов, 1919.
11.
Jackson D., A generalized problem in weighted approximation, Trans. Amer.
Math. Soc., 26 (1924), 133-154.
IKKI OʻZGARUVCHILI FUNKSIYANING UZLUKSIZLIK MODULI
Musayev Abdumannon Ochilovich
Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
―Amaliy matematika‖ kafedrasi dotsenti
Egamqulov Zafar Andaqulovich
Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
―Amaliy matematika‖ yoʻnalishi magistranti
Annotatsiya:
Ushbu maqolada ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizlik moduli
tushunchasi kiritilgan va uning ba‘zi xossalari o‘rganilgan.
Kalit so‘zlar:
Lipshis – Gyolder sinflari, funksiya uzluksizlik moduli, funksiyaning lokal
uzluksizlik moduli, nuqtaning – atrofi, ikki karrali maxsus integral.
1.
Gyolder shartini qanoatlantiruvchi funksiyalar
Odatda Koshi tipidagi integralni integrallash chizig‘ida o‘rganish uchun yordamchi
funksiyalar sinfi qaraladi.
argumenti haqiqiy yoki kompleks bo‘lgan
funksiya berilgan. Ma‘lumki, funksiya
uzluksiz bo‘lishi uchun,
yetarlicha kichik bo‘lganda
ni istalgancha
kichik qilib olinadi, boshqacha qilib aytganda argument va funksiyalarning orttirmalari bir
vaqtda nolga intiladi.
Bu ta‘rifda funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatining kichiklik tartibi
qaralmagan. Nisbatning tartibi har qanday bo‘lishi mumkin. Biroq, funksiyaning ko‘pgina
xossalari funksiya uzluksizlik modulining tartibi bilan bog‘liq. Suning uchun, uzluksiz
funksiyalar sinfi uzluksizlik modulining kichiklik tartibiga bog‘liq sinflarga ajratiladi.
Uzluksizlik moduli ko‘rsatkichli funksiya bo‘lganda argument orttirmasiga nisbatining
tartibi muhum funksiyalar sinfini aniqlaydi. Sunday funksiyalar sinfiga ta‘rif beramiz.
Uzluksizlik moduli klassik tushunchalardan bo‘lib, unng asosiy xossalari Valli Puassonning
monografiyasida keltirilgan (
).
- silliq chiziq va unda aniqlangan
funksiya berilgan.
Ta‘rif.
(
).
funksiya – chiziqda Gyolder shartini qanoatlantiradi deyiladi, agar
lar uchun
, (1)
tengsizligi bajarilsa, bu erda va lar musbat sonlar. -
Gyolder o‘zgarmasi
, - esa
Gyolder
ko‘rsatkichi
deyiladi.
Odatda Gyolder sharti qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfi
kabi belgilanadi. Masalan,
Agar
bo‘lsa, u holda (1) dan
, bundan esa
. Shuning uchun
deb hisoblanadi. Agar
bo‘lsa, ya‘ni
shart Lipshis sharti deyiladi.
