185
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
ANIQ FANLAR
Абираев Имомали Мелибоевич
Кандидат Физ.-мат. наук
Денауский институт предпринимательства и педагогики
imamali.abirayev@gmail.com
УДК: 519.6
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ МНОГОМЕРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА С
ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕТИКОЧИСЛОВЫХ СЕТОК
Ключевые слова
:
оптимальные
коэффициенты,
индекс оптимальных
коэффициентов,
параллелепипедальные
сетки, погрешность.
Аннатоция.
В этой статье, сочетая метод итерации с
теоретикочисловым методом дается приближенное решение
следующей системы интегральных уравнений
𝜑
𝑗
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ , 𝑥
𝑠
) =
∫ ⋯ ∫ ∑
𝐾
𝑗𝑟
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ , 𝑥
𝑠
, 𝑦
1
, 𝑦
2
, ⋯ , 𝑦
𝑠
) ×
𝑞
𝑟=1
1
0
1
0
× 𝜑
𝑟
(𝑦
1
, 𝑦
2
, ⋯ , 𝑦
𝑠
)𝑑𝑦
1
𝑑𝑦
2
⋯ 𝑑𝑦
𝑠
+
𝑓
𝑗
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ , 𝑥
𝑠
),
𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑔; 𝑞 ≤ 𝑔
указана оценка погрешности
𝑅
𝑁
= 𝜃(𝐶
1
+ 𝐷)𝑁
−𝑎+𝜀
.
KO‘P O‘LCHOVLI IKKINCHI TUR FREDGOLM INTEGRAL
TENGLAMALAR SISTEMASINI SONLAR NAZARIYASINING TO‘RI
YORDAMIDA TAQRIBIY YECHISH
Abiraev Imomali Meliboevich
Fiz.-mat. fanlari nomzodi
Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti
Kalit so‘zlar
:
optimal
koeffitsientlar,
optimal
koeffitsientlarning
indeksi,
parallelepipedal to‘r,
xatolik.
Annatotsiya.
Ushbu ishda
𝜑
𝑗
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ , 𝑥
𝑠
) = ∫ ⋯ ∫ ∑ 𝐾
𝑗𝑟
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ , 𝑥
𝑠
, 𝑦
1
, 𝑦
2
, ⋯ , 𝑦
𝑠
) ×
𝑞
𝑟=1
1
0
1
0
× 𝜑
𝑟
(𝑦
1
, 𝑦
2
, ⋯ , 𝑦
𝑠
)𝑑𝑦
1
𝑑𝑦
2
⋯ 𝑑𝑦
𝑠
+ 𝑓
𝑗
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ 7, 𝑥
𝑠
), 𝑗 =
1, 2, ⋯ , 𝑔; 𝑞 ≤ 𝑔
ko‘p o‘lchovli integral tenglamalar sistemasining
𝑓
𝑗
(𝑥) ∈ 𝐸
𝑠
1
(𝐶
1
), 𝐾
𝑗𝜏
∈
𝐸
2𝑠
1
(𝐶
2
)
shartdagi taqribiy yechimi qurilgan va yechimining xatoligi
baholangan.
186
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
APPROXIMATE SOLUTION OF THE SYSTEM OF MULTIDIMENSIONAL
FREDHOLM INTEGRAL EQUATIONS OF THE SECOND KIND USING
NUMBER-THEORETIC GRIDS
Abirayev Imomali Meliboevich
Doctor of philosophy (PhD)
Denau Institute for Entrepreneurship and Pedagogy
Keywords:
optimal coefficients,
index of optimal
coefficients,
parallelepipedal grids,
error.
Annotation.
In this article, the approximate solution of the system of
multidimensional integral equations is built
𝑓
𝑗
(𝑥) ∈ 𝐸
𝑠
1
(𝐶
1
), 𝐾
𝑗𝜏
∈
𝐸
2𝑠
1
(𝐶
2
)
𝜑
𝑗
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ , 𝑥
𝑠
) =
∫ ⋯ ∫ ∑
𝐾
𝑗𝑟
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ , 𝑥
𝑠
, 𝑦
1
, 𝑦
2
, ⋯ , 𝑦
𝑠
) ×
𝑞
𝑟=1
1
0
1
0
× 𝜑
𝑟
(𝑦
1
, 𝑦
2
, ⋯ , 𝑦
𝑠
) 𝑑𝑦
1
𝑑𝑦
2
⋯ 𝑑𝑦
𝑠
+
𝑓
𝑗
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ , 𝑥
𝑠
),
and the error of the solution is estimated
𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑔; 𝑞 ≤
𝑅
𝑁
= 𝜃(𝐶
1
+ 𝐷)𝑁
−𝑎+𝜀
.
Введение
Многие математические модели сложных явлений физики, биологии,
механики, экономики, социологии и так далее, в частности, восстановления
сигнала в теории управления, редукции наблюдений микро объектов, задачи
спектроскопии, определения функции распределения истинных конфигураций
тройных звезд, интерпретации кривых блеска затменных систем и различного
рода краевые задачи естественным или специальным образом сводятся к
системам интегральных уравнений типа Фредгольма или Вольтера [5; с.217-268].
Имеются много работ по аналитическому и приближенному решению
интегральных уравнений типа Фредгольма и их систем. Методы аналитического
решения, основанные на преобразованиях Лапласа, Фурье, Меллина и др. имеют
естественные ограничения в приложениях, поскольку ориентированы на
определенный круг задач и трудно реализируемые на ЭВМ. Для решения
интегральных уравнений более эффективными являются методы квадратурных
и кубатурных формул, интеграционные методы, проекционные методы
(моментов, Галеркина-Петрова, коллакации и др.) (см. Бахвалов [1; с.599-617],
Березин-Жидков[5; с.217-268], Канторович-Крылов[6; с.603-621], Верлань[4;
с.443-470] и указанную библиографию).
Следовательно, построение эффективных алгоритмов численного решения
одномерных и многомерных интегральных уравнений с ядром Фредгольма и
187
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
Гильберта и систем таких уравнений является актуальной задачей
вычислительной математики.
1.
Некоторые вспомогательные утверждения и определении.
Определение
1
.
Целые
𝑎
1
, . . . , 𝑎
𝑛
называются
оптимальными
коэффициентами по модулю N, если сушествуют константы
𝛽 = 𝛽(𝑛) и
𝐶
0
=
𝐶
0
(𝑛) такие,
что для некоторой бесконечной последовательности значений N
выполняется неравенство
𝛴
′
𝑚
1
,…,𝑚
𝑛
=−(𝑁−1)
𝑁>1
𝛿
𝑁
(𝑎
1
𝑚
1
+ ⋯ + 𝑎
𝑛
𝑚
𝑛
)
𝑚
̅
1
, … , 𝑚
̅
𝑛
≤ 𝐶
0
𝑙𝑛𝛽𝑁
𝑁
где штрих в сумме означает, что суммирование ведется по всем
(𝑚
1
, … , 𝑚
𝑛
) ≠
(0, ⋯ ,0 ).
В этом случае констант
𝛽
называется индексом оптимальных коэффицентов.
Определение 2.
Сетку вида
𝑀
𝑘𝑛
= [{
𝑎
1
𝑘
N
}, ⋯ , {
𝑎
𝑛
𝑘
N
}] , 𝑘 = 1, 2, … , 𝑁 (1.1)
в которых величины
𝑎
1
, … , 𝑎
𝑛
являются оптимальные коэффиценты
по модулю N, будем называть параллелепипедальными сетками.
Здес
{𝑥}
означает дробную долю числа
x
Определение 3.
Будем говорить, что функция f (
𝑥
1
, … ,
𝑥
𝑛
) принадлежит
классу
𝐸
𝑛
𝛼
, если выполняется оценка
С
𝑓
(
𝑚
1
, … , 𝑚
𝑛
) = 0
((𝑚
1
̅̅̅̅ , . . . , 𝑚
𝑛
̅̅̅̅̅ )
−𝛼
) ,
где
𝛼 −
действительное число ,болыше единицы, и константа в символе «0» не
зависит от
𝑚
1
, … , 𝑚
𝑛
. В тех случаях, когда нужно указать велечину этой
константы будем вместо
Е
𝑛
𝑎
написать
Е
𝑛
𝑎
(С) и заминять преыдущую оценку
неравенством
|С
𝑓
(𝑚
1
, .. , 𝑚
𝑛
) | ≤
𝐶
(𝑚
1
̅̅̅̅̅ ,..., 𝑚
𝑛
̅̅̅̅̅)
𝑎
.
Лемма1
. Если функция
𝑓(𝑥
1
, … , 𝑥
𝑠
)
принадлежит классу
𝐸
𝑠
𝛼
(𝐶)
и
𝑚
̅
1
, … , 𝑚
̅
𝑛
< 𝑀
то функция
𝜑(𝑥
1
, … , 𝑥
𝑠
) = 𝑓(𝑥
1
, … , 𝑥
𝑠
)𝑒
−2𝜋(𝑚
1
𝑥
1
+⋯+𝑚
𝑛
𝑥
𝑛
)𝑖
будет принадлежат классу
𝐸
𝑠
𝛼
(𝐴𝐶𝑀
𝛼
)
, где
𝐴
-константа, зависящая
от
𝛼
:
𝐴 = [2
𝛼+1
(3 +
2
𝛼 − 1
)]
𝑠
.
Лемма 2
. Пусть функции
𝑓
1
(𝑥
1
, … , 𝑥
𝑠
)
и
𝑓
2
(𝑥
1
, … , 𝑥
𝑠
)
принадлежат
соответственно классам
𝐸
𝑠
𝛼
(𝐶
1
)
и
𝐸
𝑠
𝛼
(𝐶
2
)
Тогда при любы
𝐵
1
и
𝐵
2
𝐵
1
𝑓
1
+ 𝐵
2
𝑓
2
∈ 𝐸
𝑠
𝑎
(|𝐵
1
|𝐶
1
+ |𝐵
2
|𝐶
2
)
и
𝑓
1
𝑓
2
∈ 𝐸
𝑠
𝑎
(A𝐶
1
𝐶
2
),
где
188
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
𝐴 = [2
𝛼+1
(3 +
2
𝛼 − 1
)]
𝑠
.
Лемма 3
. Функции
𝑓(𝑥
1
, … , 𝑥
𝑠
)
из класса
𝐸
𝑠
𝑎
,
рассматривамые
как функции каких-либо
𝑠
′
своих пременных, где 1
≤ 𝑠
′
≤ 𝑠
, принадлежат
классу
𝐸
𝑠
′
𝑎
Лемма 4
. Если
𝑓
1
(𝑥
1
, … , 𝑥
𝑛
, 𝑦
1
, … , 𝑦
𝑡
) ∈ 𝐸
𝑛+1
𝛼
(𝐶
1
)
и
𝑓
2
(𝑥
1
, … , 𝑥
𝑛
, 𝑧
1
, … , 𝑧
𝑡
′
) ∈ 𝐸
𝑛+𝑡
′
𝛼
(𝐶
2
) 𝑓
1
𝑓
2
∈ 𝐸
𝑛+𝑡
′
+𝑡
𝛼
(𝐴𝐶
1
𝐶
2
),
где
𝐴 = [2
𝛼+1
(3 +
2
𝛼 − 1
)]
𝑠
.
Лемма 5. Пусть
𝑎
1
, … , 𝑎
𝑛
оптимальные коэффициенты по модулю
N,
𝛽
их индекс. Если функция
𝑓(𝑥
1
, … , 𝑥
𝑛
)
принадлежит классу
𝐸
𝑛
𝛼
(С)
.
То для погрешности
𝑅
𝑁
[𝑓]
кубатурной формулы
∫ … ∫ 𝑓(
1
0
1
0
𝑥
1
, … , 𝑥
𝑛
)d𝑥
1
… d𝑥
𝑛
≈
1
𝑁
∑ 𝑓 [{
𝑎
1
𝑘
𝑁
} ,
… , {
𝑎
𝑛
𝑘
𝑁
}]
𝑁
𝑘=1
выполняется оценка
|𝑅
𝑁
(𝑓)| ≤ 𝐶𝐶
′
𝑁
−𝛼
𝑙𝑜𝑔𝛼𝛽𝑁,
где
𝐶
′
= 𝐶
0
𝛼
+ 𝑛𝐵
𝑛
, 𝐵 < 3 +
2
𝛼 − 1
.
Лимма 6.
Если Ф
𝜖 𝐸
𝑛
𝑎
(С)
то, каково бы ни было
𝜀
1
𝜖
(0, a-1) для
погрешности квадратурной формулы.
∫ … ∫ Ф(
1
0
1
0
𝑥
1
, … , 𝑥
𝑠
)d𝑥
1
… d𝑥
𝑠
=
1
𝑁
∑ Ф [{
𝑎
1
𝑘
𝑁
} ,
… , {
𝑎
𝑠
𝑘
𝑁
}]
𝑁
𝑘=1
− R,
построенной при
𝑁 = 𝑝
с помощью оптимальных коэффициентов, указанных
в лемме 5, справедлива оценка
|𝑅| ≤ 𝐶
[6𝑎 +
12𝑎
2
𝜀
1
]
2𝑎
𝑠
𝑝
𝑎−𝜀
1
.
Для удобства в дальнейшем введем обозначения:
189
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
ā = (𝑎
1
, … , 𝑎
𝑛
),
ḹ = (𝑙
1
, … , 𝑙
𝑛
),
ḿ = (𝑚
1
, … , 𝑚
𝑛
),
𝑡̅ = (𝑡
1
, … , 𝑡
𝑛
) 𝑑𝑡̅ = 𝑑𝑡
1
, … , 𝑑𝑡
𝑛
,
𝑝̅ = (𝑥
1
, … , 𝑥
𝑠
)
(𝑎̅, 𝑚
̅) = 𝑎
1
𝑚
1
+ 𝑎
2
𝑚
2
+ ⋯ + 𝑎
𝑛
𝑚
𝑛
, 𝐾(𝑚
̅) = ∏ max(1, |𝑚
1
|)
𝑛
𝑖=1
𝑀
𝑘𝑛
= ({
𝑎𝑚
𝑁
}) , 𝑄
𝑗
= (𝑦
(𝑗−1)𝑠+1
, … , 𝑦
𝑗𝑠
), 𝑗 = 1,2, … , 𝑛,
𝑄̅ = (𝑄
1
, … , 𝑄
𝑛
),
𝑑𝑄 = 𝑑𝑦
1
𝑑𝑦
2
… 𝑑𝑦
𝑠𝑛
= 𝑑𝑄
1
𝑑𝑄
2
… 𝑑𝑄
𝑛
,
Ф
𝑖𝑛
(𝑥, 𝑡̅) =
∑
𝐾
𝑖𝑗
1
(𝑥, 𝑡
1
) ∏ 𝐾
𝑗
𝑙−1
𝑗
𝑙
(𝑡
𝑙−1
, 𝑡
𝑙
)𝑓
𝑗
𝑛
(𝑡
𝑛
)
𝑛
𝑙=2
𝑞
𝑗
1
,…,𝑗
𝑛
=1
}
(1.1)
𝐺
𝑛𝑠
-единичный ns-мерный куб,
𝑚
1
-целые числа.
2. Основная часть.
В этой статье рассмотрим приближенное решение
следующей системы
𝜑
𝑖
(𝑥
1
, ⋯ , 𝑥
𝑠
) = 𝑓
𝑖
(𝑥
1
, ⋯ , 𝑥
𝑠
) + 𝜆 ∑ ∫ ⋯ ∫ 𝐾
𝑖𝑗
1
0
1
0
𝑞
𝑗=1
(𝑥
1
, ⋯ , 𝑥
𝑠
, 𝑦
1
, ⋯ , 𝑦
𝑠
) ×
× 𝜑
𝑗
(𝑦
1
, ⋯ , 𝑦
𝑠
)𝑑𝑦
1
⋯ 𝑑𝑦
𝑠
(𝑖 = 1, 𝑞
̅̅̅̅̅).
Будем предполагать, что свободный член и ядро этой системы принадлежат
соответственно классам
𝐸
𝑠
𝛼
(𝐶
1
)
и
𝐸
2𝑠
𝛼
(𝐶
2
)
.
В обазначениях (1.1) расмотриваемую систему мы можем переписать
ввиде
𝜑
𝑖
(𝑃) = 𝑓
𝑖
(𝑃) + 𝜆 ∑
∫ 𝐾
𝑖𝑗
(𝑃, 𝑄)
1
0
𝑞
𝑗=1
𝜑
𝑗
(𝑄)𝑑𝑄̅, (𝑖 =
1, 𝑞
̅̅̅̅̅). (2.1)
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 1.
Если
𝛾 > 0, 𝛾
0
= 2𝑠 [𝛼 + 𝑙𝑛 [3 +
2
𝛼−1
]] + ln (𝑠𝐶
2
)
и
|𝜆| =
𝑒
−( 𝛾+ 𝛾
0
)
, то при
𝑛 → ∞
решение системы уравнений (1) удовлетворяет
соотношению
𝜑
𝑖
(𝑃) = 𝑓
𝑖
(𝑃) + 𝜆 ∫ Ф
𝑖𝑛
𝐺
𝑛𝑠
(𝑃, 𝑄)𝑑𝑄̅ + 𝜃𝐷𝑒
−𝛾𝑀
,
где
В = [3 +
2
𝛼 − 1
]
𝑠
𝑒
−𝛾
, |𝜃| < 1,
Функция определена равенством
Ф
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄) = ∑ 𝜆
𝑛
∑
𝐾
𝑖𝑗
1
(𝑃, 𝑄
1
)
𝑞
𝑗
1
,⋯,𝑗
𝑛
=1
𝑀
𝑛=1
∏ 𝐾
𝑗
𝑙−1
𝑗
𝑙
(𝑄
𝑙−1
, 𝑄
𝑙
)
𝑛
𝑙=2
+ 𝑓
𝑗
𝑛
(𝑄
𝑛
)
и принадлежит классу
𝐸
𝑛𝑠
𝛼
(𝐶
1
).
190
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
Теорема 2.
Если
𝑓
𝑖
(𝑃)𝜖𝐸
𝑠
𝛼
(𝐶
1
)
и
𝐾
𝑖𝑗
(𝑃, 𝑄)𝜖𝐸
2𝑠
𝛼
(𝐶
2
)
и
|𝜆| ≤ 𝑒
−𝛾
1
(1+
1
𝜀
)
,
то при произвольно малом ε для решения системы уравнений (2.1) выполняется
равенства.
𝜑
𝑖
(𝑃) = 𝑓
𝑖
(𝑃) +
+
1
𝑁
∑ ∑ 𝜆
𝑛
𝑀
𝑛=1
∑
𝐾
𝑖𝑗,
(𝑃, 𝑀
𝑘,1
)𝐾
𝑗
1
𝑗
2
(𝑀
𝑘.1
, 𝑀
𝑘,2
) …
𝑞
𝑗
1
,…,𝑗
𝑛
=1
𝑁
𝑘=1
… 𝐾
𝑗
𝑛−1
𝑗
𝑛
(𝑀
𝑘,(𝑛−1)
, 𝑀
𝑘,𝑛
)𝑓
𝑗
𝑛
(𝑀
𝑘,𝑛
) + 𝜃(𝐶
1
+ 𝐷)𝑁
−𝑎+𝜀
,
𝑖 = 1, … , 𝑞,
где
𝑀
𝑘,𝑣
= [{
𝑎
𝑠(𝑣−1)+1
𝑘
𝑁
} , … , {
𝑎
𝑠𝑣
𝑘
𝑁
}] , 𝑣 = 1,2, … , 𝑛,
𝑎
𝜏
−
оптимальные коэффициенты в самыле Коробова(см. опледеление),
𝜆
1
= 4𝑎
2
𝑠𝑙𝑛 [6𝑎 +
24𝑎
2
𝜀
] + ln(𝑠𝐶
2
) , 𝑀 = [
𝑎𝜖𝑙𝑛𝑁
𝜆
1
],
|𝜃| < 1, 𝐷 = [3 +
2
𝑎−1
]
𝑠
𝑒
−𝛾
𝐶
1
.
Доказательство теоремы 1.
Решение системы (2.1) будем искат в виде
Неймана
𝜑
𝑖
(𝑃) = ∑ 𝜆
𝑛
∞
𝑛=0
𝜑
𝑖𝑛
(𝑃), 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑔. (2.2)
Из (2.1) и (2.2) получим
∑ 𝜆
𝑛
∞
𝑛=0
𝜑
𝑖𝑛
(𝑃) = 𝑓
𝑖
(𝑃) + ∑ 𝜆
𝑛
∞
𝑛=1
∑ ∫ 𝐾
𝑖𝑗
(𝑃, 𝑄)
𝐺
𝑆
𝑞
𝑗=1
𝑑𝑄̅.
Отсюда приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ, получим
𝜑
𝑖0
(𝑃) = 𝑓
𝑖
(𝑃),
. . . . . . .
𝜑
𝑖𝑛
(𝑃) = ∑ ∫ 𝐾
𝑖𝑗
(𝑃, 𝑄)
𝐺
𝑆
𝜑
𝑖𝑛−1
(𝑄)𝑑𝑄.
̅
𝑞
𝑗=1
(2.3)
Введем следующее обозначение
𝐹
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄
1
, … , 𝑄
𝑛
) = ∑ 𝐾
𝑖𝑗
1
(𝑃, 𝑄
1
)𝑥
𝑞
𝑗
1,…,
𝑗
𝑛
=1
191
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
𝑥 ∏ 𝐾
𝑗
𝑙−1
𝑗
𝑙
(𝑄
𝑙−1
, 𝑄
𝑙
)𝑓
𝑗
𝑛
(𝑄
𝑛
). (2.4)
𝑛
𝑙=2
В этом обозначении из (2.3) имеем
𝜑
𝑖𝑛
(𝑃) =
∑
∫ 𝐾
𝑖𝑗
(𝑃, 𝑄)
𝐺
𝑛𝑠
∏ 𝐾
𝑗
𝑙−1
𝑗
𝑙
(𝑄
𝑙−1
, 𝑄
𝑙
)𝑓
𝑗
𝑛
(𝑄
𝑛
)𝑑𝑄̅ =
𝑛
𝑙=2
𝑞
𝑗
1,…,
𝑗
𝑛
=1
= ∫ 𝐹
𝑖𝑗
(𝑃, 𝑄
1
, … , 𝑄
𝑛
)𝑑𝑄̅
𝐺
𝑛𝑠
(2.5)
Из (2.2) и (2.5) получим
𝜑
1
(𝑃) = 𝑓
1
(𝑃) + ∑ 𝜆
𝑛
𝑀
𝑗
𝑛
∫ 𝐾
𝑖𝑗
(𝑃, 𝑄
1,…,
𝑄
𝑛
)𝑑𝑄̅ + 𝑅
𝑖𝑛
,
𝐺
𝑆
(2.6)
где
𝑅
𝑖𝑛
= ∑ 𝜆
𝑛
∞
𝑛=𝑀+1
∫ 𝐹
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄
1,…,
𝑄
𝑛
)𝑑𝑄̅.
𝐺
𝑛𝑆
(2.7)
Пусть
𝐶
1
(𝑚)
и
𝐶
2
(𝑚
1
, … , 𝑚
2𝑠
)
соответственно коэффициенты Фурье
𝑓
𝑖
(𝑃),
𝐾
𝑖𝑗
(𝑃, 𝑄
1
)
и
𝑓
𝑖
(𝑃) ∈ 𝐸
𝑠
𝛼
(𝐶
1
)
,
𝐾
𝑖𝑗
(𝑃, 𝑄
1
) ∈ 𝐸
2𝑠
𝛼
(𝐶
2
).
Тогда
|𝑓(𝑃)| = |
∑
𝐶
2
(𝑚
1
, … , 𝑚
𝑠
)
∞
𝑚
1
,…,𝑚
𝑠
=−∞
𝑒
2𝜋(𝑚
1
𝑥
1
+⋯+𝑚
𝑠
𝑥
𝑠
)
| ≤
≤ 𝐶
1
∑
1
(𝑚
1
… 𝑚
𝑠
)
𝛼
∞
𝑚
1
,…,𝑚
𝑠
=−∞
= 𝐶
1
(1 + 2 ∑
1
𝑚
𝛼
∞
𝑚=1
)
𝑠
≤ 𝐶
1
(3 +
2
𝛼 − 1
)
𝑠
. (2.8)
Аналогичная оценка справедлива и для ядра
|𝐾(𝑃, 𝑄)| ≤ 𝐶
2
(3 +
2
𝛼 − 1
)
2𝑠
. (2.9)
Поэтому из (2.8) и (2.9) находим, что
|𝐾
𝑖𝑗
1
(𝑃, 𝑄
1
) ∏ 𝐾
𝑗
𝑙−1
𝑗
𝑙
(𝑄
𝑙−1
, 𝑄
𝑙
)𝑓
𝑗
𝑛
𝑛
𝑙=2
(𝑄
𝑛
)| ≤
≤ (𝐶
2
(3 +
2
𝛼 − 1
)
2𝑠
)
𝑛
(3 +
2
𝛼 − 1
)
𝑠
𝐶
1
= (3 +
2
𝛼 − 1
)
(2𝑛+1)𝑠
𝐶
2
𝑛
𝐶
1
.
Следовательно, из (2.4) имеем
|𝐹
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄
1
, … , 𝑄
𝑛
)| =
192
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
= | ∑ 𝐾
𝑖𝑗
1
(𝑃, 𝑄
1
)
𝑞
𝑗
1,…,
𝑗
𝑛
=1
∏ 𝐾
𝑗
𝑙−1
𝑗
𝑙
(𝑄
𝑙−1
, 𝑄
𝑙
)𝑓
𝑗
𝑛
(𝑄
𝑛
)
𝑛
𝑙=2
| ≤
≤ (3 +
2
𝛼 − 1
)
(2𝑛+1)𝑠
𝐶
2
𝑛
𝐶
1
∑
1
𝑞
𝑗
1,…,
𝑗
𝑛
=1
= 𝑞
𝑛
(3 +
2
𝛼 − 1
)
(2𝑛+1)𝑠
𝐶
2
𝑛
𝐶
1
.
Используя эту оценку в (2.7), получим
|𝑅
𝑖𝑛
| ≤ ∑ |𝜆|
𝑛
∞
𝑛=𝑀+1
∫|𝐹
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄
1,…,
𝑄
𝑛
)|𝑑𝑄̅ =
𝐺
𝑛𝑆
= ∑ ((3 +
2
𝛼 − 1
)
2𝑠
|𝜆|𝑞𝐶
2
)
𝑛
∞
𝑛=𝑀+1
(3 +
2
𝛼 − 1
)
𝑠
𝐶
1
∫ 𝑑𝑄̅.
𝐺
𝑛𝑆
Токим образом
|𝑅
𝑖𝑛
| ≤ (3 +
2
𝛼 − 1
)
𝑠
𝐶
1
∑ ((3 +
2
𝛼 − 1
)
2𝑠
|𝜆|𝑞𝐶
2
)
𝑛
∞
𝑛=𝑀+1
. (2.10)
Для того, чтобы ряд, стоящий в первой части неравенства (2.10) был
сходящимся, должно выполняться неравенство
(3 +
2
𝛼 − 1
)
2𝑠
|𝜆|𝑞𝐶
2
< 1
то есть
|𝜆| < 𝑒
−𝛾
0
, (2.11)
где
𝑒
𝛾
0
> (3 +
2
𝛼 − 1
)
2𝑠
𝑞𝐶
2
Отсюда находим
𝛾
0
> 2𝑠𝑙𝑛 (3 +
2
𝛼 − 1
) + ln (𝑞𝐶
2
, (2.12)
Пусть
𝛾 > 0,
𝛾
0
> 2𝑠 (𝛼 + 𝑙𝑛 (3 +
2
𝛼 − 1
)) + ln(𝑞𝐶
2
), (2.13)
то выполняется неравенство (2.12) и в силу (2.11)
|𝜆|
можно записать в
следующем виде
|𝜆| < 𝑒
−( 𝛾+𝛾
0
)
. (2.14)
Учитывая (2.14), из (2.10) получим
|𝑅
𝑖𝑛
| ≤ (3 +
2
𝛼 − 1
)
𝑠
𝐶
1
∑ 𝑒
−𝛾𝑛
∞
𝑛=𝑀+1
≤ (3 +
2
𝛼 − 1
)
𝑠
𝐶
1
𝑒
−𝛾(𝑀+1)
193
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
или
|𝑅
𝑖𝑛
| = 𝜃 (3 +
2
𝛼 − 1
)
𝑠
𝑒
−𝛾
𝐶
1
𝑒
−𝛾𝑀
, |𝜃| < 1. (2.15)
Отсюда и из (2.6) имеем
𝜑
𝑖
(𝑃) = 𝑓
𝑖
(𝑃) + ∫ Ф
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄)
𝐺
𝑛𝑠
𝑑𝑄̅ + 𝜃𝐷𝑒
−𝛾𝑀
, (2.16)
где
Ф
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄) = ∑ 𝜆
𝑛
𝑀
𝑛=1
𝐹
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄) (2.17)
𝐷 = (3 +
2
𝛼 − 1
)
𝑠
𝑒
−𝛾
𝐶
1
, |𝜃| < 1.
Из леммы 4 получим, что функция
𝐹
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄)
как функция всех
𝑛𝑠
переменных
𝑄
1,…,
𝑄
𝑛
принадлежит классу
𝐸
𝑛𝑠
𝛼
(𝑞
𝑛
𝐴
𝑛
𝐶
2
𝑛
𝐶
1
),
где
𝐴 = [2
𝛼+1
(3 +
2
𝛼−1
)]
𝑠
.
Согласно первому утверждению леммы 2
получем, что функция
Ф
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄)
принадлежит классу
𝐸
𝑛𝑠
𝛼
(𝐶
∗
)
,
𝐶
∗
= ∑(𝜆
𝑛
𝑞
𝑛
𝐴
𝑛
𝐶
2
𝑛
𝐶
1
) =
𝑀
𝑛=1
𝐶
1
∑(𝜆𝑞𝐴𝐶
2
)
𝑛
. (2.18)
𝑀
𝑛=1
𝑒
𝛾
0
= 𝑒
2𝑠𝛼+𝑙𝑛(3+
2
𝛼−1
)
2𝑠
+𝑙𝑛(𝑞𝐶
2
)
= (3 +
2
𝛼 − 1
)
2𝑠
𝑞𝐶
2
𝑒
2𝑠𝛼
>
> 𝑞𝐶
2
[𝑒
𝛼+1
(3 +
2
𝛼 − 1
)
2
]
𝑠
> 2𝑞𝐶
2
[2
𝛼+1
(3 +
2
𝛼 − 1
)]
𝑠
= 2𝑞𝐴𝐶
2
.
из (2.11) получим
|𝜆| = (2𝑞𝐴𝐶
2
)
−1
. (2.19)
Следовательно,
𝐶
∗
< 𝐶
1
∑((2𝑞𝐴𝐶
2
)
−1
𝑞𝐴𝐶
2
)
𝑛
= 𝐶
1
∑ 2
−𝑛
<
𝑀
𝑛=1
𝐶
1
.
𝑀
𝑛=1
из значит
Ф
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄) ∈ 𝐸
𝑛𝑠
𝛼
(𝐶
1
). (2.20)
Доказательство теоремы 2.
Пусть при
𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑁
и
𝜈 = 1, 2, . . . , 𝑛
точки
𝑀
𝑘,𝜈
определены равенством
𝑀
𝑘,𝜈
= [{
𝑎
𝑠(𝜈−1)+1
𝑘
𝑁
} , ⋯ , {
𝑎
𝑠𝜈
𝑘
𝑁
} ].
194
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
Тогда согласно квадратурной формуле, указанной в леммы 6, справедливо
равенство
∫ Ф
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑄)
𝐺
𝑛𝑠
𝑑𝑄̅ =
1
𝑁
∑ Ф
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑀
𝑘,𝜈
)
𝑁
𝑘=1
− 𝑅, (2.21)
где
|𝑅| ≤ 𝐶
1
[6𝛼 +
24𝛼
2
𝜀 ]
2𝛼𝑀𝑠
𝑁
𝛼−
𝜀
2
, 𝛼 < 1, 0 < 𝜀 < 𝛼 − 1.
Предположим, что
[6𝛼 +
24𝛼
2
𝜀 ]
2𝛼𝑀𝑠
𝑁
𝛼−
𝜀
2
<
1
𝑁
𝛼−𝜀
.
Тогда
[6𝛼 +
24𝛼
2
𝜀
]
2𝛼𝑀𝑠
< 𝑁
𝜀 2
⁄
.
Отсюда
𝑀 <
𝜀𝑙𝑛𝑁
4𝛼𝑠𝑙𝑛 [6𝛼 +
24𝛼
2
𝜀 ]
=
𝛼𝜀𝑙𝑛𝑁
4𝑠𝛼
2
𝑙𝑛 [6𝛼 +
24𝛼
2
𝜀 ]
.
Поэтому мы можем полагать
𝑀 =
𝛼𝜀𝑙𝑛𝑁
𝛾
1
,
где
𝛾
1
= 4𝑠𝛼
2
𝑙𝑛 [6𝛼 +
24𝛼
2
𝜀
] + 𝑙𝑛(𝐶
2
𝑠).
Таким образом в (2.21) мы имеем
𝑅 = 𝜃𝐶
1
𝑁
−𝛼+𝜀
, |𝜃| < 1
Так как
𝛾
1
удовлетворяет неравнству (2.12), то из (2.16) и (2.21) получим
𝜑
𝑖
(𝑃) = 𝑓
𝑖
(𝑃) +
1
𝑁
∑ Ф
𝑖𝑛
(𝑃, 𝑀
𝑘,𝜈
)
𝑁
𝑘=1
+ 𝜃𝐶
1
𝑁
−𝛼+𝜀
+ 𝜃𝐷𝑒
−𝛾𝑀
Если
𝛾 =
𝛾
1
𝜀
−1
, то
𝑒
−𝛾𝑀
= 𝑒
−
𝛼𝛾
1
𝜀𝑙𝑛𝑁
𝜀𝛾
1
= 𝑁
−𝛼
< 𝑁
−𝛼+𝜀
.
Отсюда
𝜃𝐶
1
𝑁
−𝛼+𝜀
+ 𝜃𝐷𝑒
−𝛾𝑀
= 𝜃(𝐶
1
+ 𝐷)𝑒
−𝛼+𝜀
, |𝜃| < 1.
Тем самым теорема 2 доказана.
195
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
Заключение.
Применение теоретико числовых сеток позволяет при любом
𝜀 > 0
получат кубатурные формулы, для погрешности которых на классе
𝐻
𝑠
1
справедлива оценка
𝑅 = 𝑂 (
1
𝑁
1−𝜀
). (2.22)
Эта оценка является почти предельно точной, так как на классе
𝐻
𝑠
1
ни при каком
выборе сеток нельзя получить оценку погрешности, лучшую чем
𝑅 = 𝑂 (
1
𝑁
).
Оценка
(2.22)
, очевидно, значительно точнее оценок, получающихся на классе
𝐻
𝑠
1
как с помощью классических методов, так и с помощью методов Монте-
Карло, дающих случайную погрешность
𝑅 = 𝑂 (1
√𝑁
⁄
).
В качестве примера
рассмотрим следующую систему уравнений
𝑦
1
(𝑥
1
, 𝑥
2
) = 𝑓
1
(𝑥
1
, 𝑥
2
) + 𝜆 ∫ ∫[𝐾
11
(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑡
1
, 𝑡
2
)𝑦
1
(𝑡
1
, 𝑡
2
) +
1
0
1
0
+𝐾
12
(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑡
1
, 𝑡
2
)𝑦
2
(𝑡
1
, 𝑡
2
)]𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
2
,
𝑦
2
(𝑥
1
, 𝑥
2
) = 𝑓
2
(𝑥
1
, 𝑥
2
) + 𝜆 ∫ ∫[𝐾
21
(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑡
1
, 𝑡
2
)𝑦
1
(𝑡
1
, 𝑡
2
) +
1
0
1
0
+𝐾
22
(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑡
1
, 𝑡
2
)𝑦
2
(𝑡
1
, 𝑡
2
)]𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
2
.
}
где
𝑓
1
(𝑥
1
, 𝑥
2
) = 𝑠𝑖𝑛𝜋(𝑥
1
+ 𝑥
2
), 𝑓
2
(𝑥
1
, 𝑥
2
) = 𝑐𝑜𝑠𝜋(𝑥
1
+ 𝑥
2
),
𝐾
11
(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑡
1
, 𝑡
2
) = 𝑠𝑖𝑛𝜋(𝑡
1
− 𝑡
2
)𝑐𝑜𝑠𝜋(𝑥
1
+ 𝑥
2
),
𝐾
12
(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑡
1
, 𝑡
2
) = 𝑠𝑖𝑛𝜋(𝑥
1
+ 𝑥
2
)𝑐𝑜𝑠𝜋(𝑡
1
− 𝑡
2
),
𝐾
21
(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑡
1
, 𝑡
2
) = 𝑠𝑖𝑛𝜋(𝑥
1
− 𝑥
2
)𝑐𝑜𝑠𝜋(𝑡
1
+ 𝑡
2
),
𝐾
22
(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑡
1
, 𝑡
2
) = 𝑠𝑖𝑛𝜋(𝑡
1
+ 𝑡
2
)𝑐𝑜𝑠𝜋(𝑥
1
− 𝑥
2
).
Не трудно показать, что точное решение этой системы:
𝑦
1
∗
(𝑥
1
, 𝑥
2
) = 𝑠𝑖𝑛𝜋(𝑥
1
+ 𝑥
2
), 𝑦
2
∗
(𝑥
1
, 𝑥
2
) = 𝑐𝑜𝑠𝜋(𝑥
1
+ 𝑥
2
)
Приближенное значение решения будем вычислять по формуле
𝑦
𝑖
(𝑃) = 𝑓
𝑖
(𝑃) + Φ
𝑖
(𝑃) + 𝑅
𝑖
.
Φ
𝑖
(𝑃) =
1
𝑁
∑ ∑ 𝜆
𝑛
𝑀
𝑛=1
∑
𝐾
𝑖𝑗,
(𝑃, 𝑀
𝑘,1
)𝐾
𝑗
1
𝑗
2
(𝑀
𝑘.1
, 𝑀
𝑘,2
) …
𝑞
𝑗
1
,…,𝑗
𝑛
=1
𝑁
𝑘=1
… 𝐾
𝑗
𝑛−1
𝑗
𝑛
(𝑀
𝑘,(𝑛−1)
, 𝑀
𝑘,𝑛
)𝑓
𝑗
𝑛
(𝑀
𝑘,𝑛
) + 𝜃(𝐶
1
+ 𝐷)𝑁
−𝑎+𝜀
,
𝑖 = 1, … , 𝑞,
где
196
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
𝑃 = (𝑥
1
, 𝑥
2
), 𝑀
𝑘,𝑣
= [{
𝑎
2𝑣−1
𝑘
𝑁
} , {
𝑎
2𝑣
𝑘
𝑁
}] , 𝑣 = 1,2, … , 𝑛,
А для погрешности имеем
𝑦
1𝑁
= Φ
1
(𝑃) + 𝑓
1
(𝑃),
𝑦
2𝑁
= Φ
2
(𝑃) + 𝑓
2
(𝑃).
Численные результаты приведены в таблице 1.
В таблице приведены значения
𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑀, 𝑁, 𝜆
и погрешностей
𝑅
1
и 𝑅
2
приближенных решений
𝑦
1
(𝑥
1
, 𝑥
2
) и 𝑦
2
(𝑥
1
, 𝑥
2
)
соответсвенно.
Таблица 1
Х1
Х2
М
N
LAM
R1 (X)
R2 (X)
0.20
0.50
2
8
0.01
0.112265D-02
0.725872D-05
0.99
0.9
2
8
0.01
0.300380D-02
0.172733D-04
0.2
0.9
3
8
0.01
0.630671D-02
0.127690D-04
0.2
0.9
2
8
0.1
0.636336D-01
0.127316D-02
0.2
0.9
2
8
0.001
0.110780D-03
0.725872D-05
0.2
0.9
3
8
0.1
0.636862D-01
0131053D-02
0.2
0.9
3
16
0.01
0.629164D-02
0.145131D-04
0.2
0.9
4
60
0.01
0.629338D-02
0.148427D-04
Список использованной литературы:
1.
Авит А. Приближенное вычисление линейного интегрального уравнения
Вольтерра-Стилтьеса второго рода обобщенным методом трапеций. Молодой
ученый. 6(65), 3-9. (2014).
2.
Абдурашидов А.А. «Приближенное решение линейных и нелинейных
интегральных уравнений Вольтера методом вариационных итераций». Молодой
ученый. 6(140), 8-12. (2017).
3.
Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука. Т.1. 1975. 631 с.
4.
Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы
алгоритмы, программы. Справочное пособие. -Киев: “Наукова думка” 1986.
543 c.
5.
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. -М.: Наука. 1966. 466 с.
6.
Канторович Л.В. и Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.
М. –Л.: Гостехиздат. 1949. 695 с.
197
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
7.
Исраилов М.И. О некоторых применениях методов теории Чисел в теории
кубатурных формул // Вопросы вычисление и прикладного математики. -Т.:
ФАН.1981. Вып 65. С. 135-148.
8.
Исраилов М.И., Шадиметов Х.М. Оптимальные коэффициенты Весовых
квадратурных формул для сингулярных интегралов типа Коши // ДАН УзССР.
1991. №11. С. 7-9.
9.
Сумин Е.В., Шерстюков В.Б., Шерстюкова О.В. «Интегральные уравнения
Фредгольма и Вольтера, краевые задачи и методы их решения». Учебное
пособие. Москва, 96(2016).
