208
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
ANIQ FANLAR
Sobirova Mavjuda
, (PhD) dotsent,
Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti
Yuldoshev Subxon,
2-kurs magistranti,
Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti
UDK-519.6
IKKINCHI TARTIBLI BA’ZI BO’LAKLI O’ZGARMAS ARGUMENTLI
DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNING 2-DAVRIY YECHIMLARINI
YECHISH METODIKASI
Kalit so’zlar:
diff
irensial tenglamal
ar, ikkinchi tartibl
i diffirensial tengl
amalar, integralla
sh, rеjаlаshtirish,
nаtijа.
Annotatsiya.
Ushbu maqolada quyidagi
𝑥′′(𝑡) + 𝑝𝑥′′(𝑡 − 1) = 𝑞𝑥([𝑡]) +
𝑓(𝑡)
ko'rinishdagi bo'lakli-uzluksiz o‘zgarmas argumentli ikinchi tartibli dif
ferensial tenglamalarning 2- davriy yechimlarini yechish usuli ko'rib chiqildi
. Bunda
[. ]
eng katta butun funksiyani bildirib,
𝑝
va
𝑞
noldan farqli haqiqiy
sonlar va
𝑓(𝑡)
haqiqiy qiymatli davriy funksiyadir. Magolada dastlab ikkinc
hi tartibli differensial tenglamalarning 2 -davriy echimlari uchun mavjudlik s
hartlari ko‘rinishida, so‘ngra muammo algebraik tenglamalarning chiziqli tiz
imi ko ‘rinishiga keltirildi.
ABOUT 2-PERIOD SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH S
OME PIECEWISE INVARIANT ARGUMENTS OF THE SECOND ORDER
Sobirova Mavjuda, Yuldoshev Subxon
Denau
Institute for Entrepreneurship and Pedagogy
Keywords:
differential equa
tions, second-or
der differential
equations,
integration,
planning, result.
Annotation. This article shows a method for solving two periodic solutions of se
cond order differential equations with piecewise continuous constant arguments
in the form x''(t)+px''(t-1)=qx([t])+f(t ), where [.]denotes the function of the larg
est integer, p and q are non-zero real numbers, and f(t) is a real-valued periodic f
unction. In the article, firstly, the conditions for the existence of 2-periodic solut
ions of second-order differential equations are given, and then the solution of th
e problem is represented as a linear system of algebraic equations.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЙ 2-ПЕРИОДНЫХ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕКОТОРЫМИ КУСОЧНО-
ИНВАРИАНТНЫМИ АРГУМЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Собирова Мавжуда,
доцент Денауского института
предпринимательства ипедагогики
Йулдошев Субхон
, магистрант Денауского института
предпринимательства ипедагогики
Ключевые слова:
дифференциальные
уравнения,
Аннотация.
В этой статье рассмотрено метод решения двух периоди
ческих решений дифференциальных уравнений второго порядка с ку
сочно-непрерывными постоянными аргументами в виде
x''(t)+px''(t-1
)=qx([t])+f(t )
, где [.] обозначает функцию наибольшего целого числ
209
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
дифференциальные
уравнения второго
порядка,
интеграция, планир
ование результат.
а,
p
и
q
— ненулевые действительные числа, а
f(t)
— периодическая ф
ункция с действительным знаком. В статье сначала привели условия
существования 2-периодических решений дифференциальных уравне
ний второго порядка а затем решение задачи представили в виде ли
нейной системы алгебраических уравнений.
Kirish
Differensial tenglamalarni tadqiq qilishda yillar davomida turli xil foydali usullar
aniqlandi va ishlab chiqildi. Masalan, Bessel funksiyasi, Elliptik funksiya, integral
tartib uchun Matyo funksiyasi, Legendre, Gegenbauer va Tchebycheff funksiyalari va
boshqalar. [1]. O’zgarmas argumentli differensial tenglamalar bo'yicha izlanishlar
Cook va Wiener [7, (1984) pp.265–297], Lakshmikantham tomonidan kashf etilgan.
Bo'lakli uzluksiz o’zgarmas argumentli differensial tenglamalar tebranishlar
tizimida, barqarorlikni o’rganishda keng qo'llanilishini topdi. Masalan, barqarorlik, bir
xil barqarorlik va bir xil asimptotik barqarorlikni isbotlash uchun qisman o’zgarmas
argumentli differensial tenglamalar uchun Lyapunov-Razumixin usuli ishlatilgan [2].
Differensial va farqli differentsial tenglamalarni birlashtirib, Busenburg va Cook [10]
uzluksiz va diskret,diskret dinamik tizimlarning gibridini yaratdilar.
Davriy va deyarli davriy yechimlarning mavjudligi muammosi fizika fanidagi
ahamiyati uchun oddiy yoki funksional differensial tenglamalarning sifat
nazariyasidagi eng jozibador mavzulardan biri bo'lib kelgan. Ushbu [8] ish mualliflari
ushbu
(𝑥(𝑡) + 𝑝𝑥(𝑡 − 1))
(𝑛)
= 𝑞([𝑡]) + 𝑓(𝑡)
(1)
ko’rinishdagi n-tartibli bo'lakli-uzluksiz o’zgarmas argumentli differensial
tenglamalarni deyarli davriy yechimlar mavjudligini o'rgandilar. Shuningdek, ba'zi
ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning davriy yechimlari mavjud bo'lishi uchun
yetarli shartlar bo'yicha [9] keltirilgan.
Yaqinda chop etilgan [5] maqola quyidagi differensial tenglama o'rganilgan:
𝑥′′(𝑡) + 𝑝𝑥"(𝑡 − 1) = 𝑞𝑥 (2 [
𝑡+1
2
]) + 𝑓(𝑡)
(2)
bu erda [t] –t ning butun qismi,
𝑝
va
𝑞
lar noldan farqli haqiqiy sonlar
𝑓(𝑡)
esa
2𝑛
-
davrli uzluksiz funksiya.
Biz [6,2020.pp. 93-105] maqolada qo’llanilgan usuldan foydalanib ushbu
𝑥′′(𝑡) + 𝑝𝑥′′(𝑡 − 1) = 𝑞𝑥([𝑡]) + 𝑓(𝑡)
(3)
210
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
bo'lakli-uzluksiz
o’zgarmas
argumentli
ikinchi
tartibli
differensial
tenglamalarning 2-davrli yechimlarini yechish usulini ko'rsatamiz. Bu yerda
[∙]
eng
katta butun funksiyani bildiradi,
𝑝
va
𝑞
noldan farqli haqiqiy sonlarva
𝑓(𝑡)
haqiqiy
qiymatli davriy funksiyadir. Ishda dastlab ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning
2-davrli yechimlari uchun mavjudlik shartlarini keltiramiz va muammoni algebraik
tenglamalarning chiziqli tizimiga keltiramiz. Ushbu maqolada tenglamaning 2-davrli
yechimlarining yagonaligi uchun barcha shartlar keltirilgan. Bundan tashqari, biz
ushbu yechimning mavjudligi va o'ziga xosligini muhokama qilamiz.
Tenglama yechimi ta’rifi va 2-davrli yechimlari
Qaralayotgan (3) tenglamaning yechimi tushunchasini keltiramiz.
Ta’rif 1.1.
Agar
𝑥(𝑡)
funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa,
𝑥(𝑡)
funksiyaga (3) tenglamaning yechimi deyiladi [8]1)
𝑥(𝑡)
funksiya
ℝ
da uzluksiz;
2)
(𝑥(𝑡) + 𝑝𝑥(𝑡 − 1))′′
funksiya
𝑡 = 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
nuqtalardan boshqa barcha
𝑡 ∈ ℝ
larda uzliksiz hosilaga ega va
𝑡 = 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
da bir tomonli hosilaga ega; 3)
𝑥(𝑡)
funksiya har bir
(𝑛, 𝑛 + 1), 𝑛 ∈ ℤ
intervalda (3) tenglamani qanoatlantiradi. Faraz
qilaylik (3) tenglamada
𝑓
funksiya
𝑛
-davrli uzluksiz funksiya bo'lsin. Ushbu ishda
𝑛 =
2
bo’lgan holda (3) tenglamani ikki davrli yechimini o’rganamiz. Faraz qilaylik,
𝑥(𝑡)
funksiya
2
-davrli uzluksiz funksiya bo'lsin, ya’ni
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 2).
Dastlab (3) da
𝑡
ni
𝑡 + 1
bilan almashtirib, (3) ni quyidagicha ifodalaymiz
𝑥′′(𝑡 + 1) + 𝑝𝑥′′(𝑡) = 𝑞𝑥([𝑡 + 1]) + 𝑓(𝑡 + 1)
(4)
𝑥(𝑡)
funksiya
2
-davrli uzluksiz funksiya bo'lganligi uchun,
𝑥′′(𝑡 + 1) = 𝑥′′(𝑡 − 1)
.
U holda (4) quyidagicha bo’ladi
𝑥′′(𝑡 − 1) = −𝑝𝑥′′(𝑡) + 𝑞𝑥([𝑡 + 1]) + 𝑓(𝑡 + 1)
(5)
Endi (4) ni (3) tenglamaga qo’yib,
𝑝
2
≠ 1
bo’lganda ushbu tenglamani
𝑥′′(𝑡) =
𝑞
1−𝑝
2
(𝑥([𝑡]) − 𝑝𝑥([𝑡 + 1])) +
1
1−𝑝
2
(𝑓(𝑡) − 𝑝𝑓(𝑡 + 1))
(6)
hosil qilamiz. (6) ni ikkala tomonini
[0, 𝑡]
,
𝑡 < 2
oraliqda integrallaymiz
𝑥
′
(𝑡) = 𝑥
′
(0) +
𝑞
1−𝑝
2
∫ (𝑥([𝑠]) − 𝑝𝑥([𝑠 + 1]))𝑑𝑠
𝑡
0
+
1
1−𝑝
2
∫ (𝑓([𝑠]) − 𝑝𝑓([𝑠 +
𝑡
0
1]))𝑑𝑠
. (7)
211
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
(7) ni ikkala tomonini yana bir bor
[0, 𝑡]
,
𝑡 < 2
oraliqda integrallaymiz:
𝑥(𝑡) = 𝑥(0) + 𝑥′(0)𝑡 +
𝑞
1−𝑝
2
𝑄(𝑡) + 𝐹
2
(𝑡)
(8)
Bu erda
𝑄(𝑡) = ∫ ∫ (𝑥([𝑠]) − 𝑝𝑥([𝑠 + 1]))𝑑𝑠
𝑡
1
0
𝑡
0
𝑑𝑡
1
,
𝐹
2
(𝑡) =
1
1−𝑝
2
∫ ∫ (𝑓([𝑠]) − 𝑝𝑓([𝑠 + 1]))𝑑𝑠
𝑡
1
0
𝑡
0
𝑑𝑡
1
.
Endi
𝑄(𝑡)
ni quyidagicha ifodalaymiz:
1-hol:
𝑡 ∈ [0,1)
bo’lsin, u holda
𝑥([𝑠]) = 𝑥(0)
va
𝑥([𝑠 + 1]) = 𝑥(1)
bo’lganligi
uchun
𝑄(𝑡) = ∫ ∫ (𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)𝑑𝑠
𝑡
1
0
𝑡
0
𝑑𝑡
1
=
∫ (𝑥(0) − 𝑝𝑥(1))𝑡
1
𝑡
0
𝑑𝑡
1
=
𝑡
2
2
(𝑥(0) − 𝑝𝑥(1))
Shunday qilib,
𝑄(𝑡) =
𝑡
2
2
(𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)) 𝑡 ∈ [0,1)
. (9)
2
-hol:
𝑡 ∈ [1,2)
bo’lsin. Dastlab
𝑄(𝑡)
ni quyidagicha ifodalaymiz:
𝑄(𝑡) = ∫ ∫ (𝑥([𝑠]) − 𝑝𝑥([𝑠 + 1]))𝑑𝑠
𝑡
1
0
𝑡
0
𝑑𝑡
1
= ∫ ∫ (𝑥([𝑠]) − 𝑝𝑥([𝑠 + 1]))𝑑𝑠𝑑𝑡
1
𝑡
1
0
1
0
+ ∫ ∫ (𝑥([𝑠]) − 𝑝𝑥([𝑠 + 1]))𝑑𝑠𝑑𝑡
1
𝑡
1
0
𝑡
1
= ∫ ∫ (𝑥([𝑠]) − 𝑝𝑥([𝑠 + 1]))𝑑𝑠𝑑𝑡
1
𝑡
1
0
1
0
+ ∫ ∫ (𝑥([𝑠]) − 𝑝𝑥([𝑠 + 1]))𝑑𝑠𝑑𝑡
1
1
0
𝑡
1
+ ∫ ∫ (𝑥([𝑠]) − 𝑝𝑥([𝑠 + 1]))𝑑𝑠𝑑𝑡
1
𝑡
1
1
𝑡
1
.
Endi
𝑥([𝑠]) = 𝑥(0)
,
𝑥([𝑠 + 1]) = 𝑥(1), 𝑠 ∈ [0,1)
va
𝑥([𝑠]) = 𝑥(1)
,
𝑥([𝑠 + 1]) =
𝑥(2), 𝑠 ∈ [1,2)
bo’lganligi uchun
212
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
𝑄(𝑡) = ∫ ∫ (𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)𝑑𝑠𝑑𝑡
1
𝑡
1
0
+ ∫ ∫ (𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)𝑑𝑠𝑑𝑡
1
1
0
𝑡
1
1
0
+ ∫ ∫ (𝑥(1) − 𝑝𝑥(2))𝑑𝑠𝑑𝑡
1
𝑡
1
1
𝑡
1
.
Bu erdan esa, ushbu
𝑄(𝑡) =
1
2
(𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)) + (𝑥(0) − 𝑝𝑥(1))(𝑡 − 1) +
(𝑡 − 1)
2
2
(𝑥(1) − 𝑝𝑥(2)) .
tenglikni hosil qilamiz.
𝑥(0) = 𝑥(2)
ekanligi inobatga olsak, oxirgi tenglikni quyidagicha yozamiz:
𝑄(𝑡) =
1
2
(𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)) + (𝑥(0) − 𝑝𝑥(1))(𝑡 − 1) +
(𝑡−1)
2
2
(𝑥(1) − 𝑝𝑥(0)) 𝑡 ∈
[1,2)
. (10)
Demak, (9) va (10) ga ko’ra,
𝑄(𝑡)
funksiyani
[0.2]
oraliqda quyidagicha ifodalaymiz
𝑄(𝑡) =
{
𝑡
2
2
(𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)) 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑡 ∈ [0,1),
1
2
(𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)) + (𝑥(0) − 𝑝𝑥(1))(𝑡 − 1)
+
(𝑡 − 1)
2
2
(𝑥(1) − 𝑝𝑥(0)) 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑡 ∈ [1,2)
Shunday qilib,
𝑄(𝑡)
funksiyani ifodasida va (8) yechimni ko’rinishida
𝑥(0), 𝑥(1)
va
𝑥′(0)
noma’lum sonlar ishtirok etyapti. Agar shu nomalumlarni topsak, (8) yechim
aniq ifodalangan funksiya bo’ladi.
𝑥(0) = 𝑥(2), 𝑥′(0) = 𝑥′(2)
tengliklarni inobatga olsak, (8) dan
𝑥(0), 𝑥(1)
va
𝑥′(0)
noma’lumlarga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
𝑥(1) = 𝑥(0) + 𝑥′(0) +
𝑞
1−𝑝
2
𝑄(1) + 𝐹
2
(1)
(11)
𝑥(2) = 𝑥(0) + 2𝑥′(0) +
𝑞
1−𝑝
2
𝑄(2) + 𝐹
2
(2)
(12)
𝑥′(0) = 𝑥′(0) +
𝑞
1−𝑝
2
𝑄′(2) + 𝐹
2
′(2)
(13)
Endi ushbu
𝑄(1) =
1
2
(𝑥(0) − 𝑝𝑥(1))
,
𝑄(2) =
3
2
(𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)) +
1
2
(𝑥(1) − 𝑝𝑥(0)),
𝑄
′
(2) = (1 − 𝑝)(𝑥(0) − 𝑝𝑥(1)) + (1 − 𝑝)(𝑥(1) − 𝑝𝑥(0))
213
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
tengliklardan (11-13) tenglamalar quyidagi tenglamalar sistemasini hosil etadi:
{
(1 +
1
2
𝑞
1−𝑝
2
) 𝑥(0) − (1 +
1
2
𝑞𝑝
1−𝑝
2
) 𝑥(1) + 𝑥
′
(0) = −𝐹
2
(1),
1
2
𝑞
1−𝑝
2
(3 − 𝑝)𝑥(0) +
1
2
𝑞
1−𝑝
2
(1 − 3𝑝)𝑥(1) + 2𝑥
′
(0) = −𝐹
2
(2),
𝑞
1+𝑝
𝑥(0) +
𝑞
1+𝑝
𝑥(1) = −𝐹
2
(2)
(14)
𝐷(𝑝, 𝑞)
orqali (3.11) systemaga mos matrisa determinantini belgilaymiz, ya’ni
𝐷(𝑝, 𝑞) =
|
|
1 +
1
2
𝑞
(1 − 𝑝
2
)
− (1 +
1
2
𝑞𝑝
(1 − 𝑝
2
)
)
1
1
2
𝑞
(1 − 𝑝
2
)
(3 − 𝑝)
1
2
𝑞
(1 − 𝑝
2
)
(1 − 3𝑝) 2
𝑞
1 + 𝑝
𝑞
1 + 𝑝
0
|
|
Bu determinant hisoblasak,
𝐷(𝑝, 𝑞) = −
𝑞
1+𝑝
Demak,
𝑞
2
≠ 0 and (1 − 𝑝
2
) ≠ 0
bo’lganligidan,
𝐷(𝑝, 𝑞) ≠ 0
kelib chiqadi.
Shunday qilib, algebra kursidan ma’lumki,
𝐷(𝑝, 𝑞) ≠ 0
bo’lganda (3) tenglamalar
sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi. Bu erdan quyidagi teorema hosil bo’ladi.
Teorema 1.1
Agar
𝑝
2
− 1 ≠ 0
,
𝑞
2
≠ 0
va
𝑓
- 2-davrli uzluksiz funksiya
bo’lsin. U holda (3) tenglama (8) ko’rinishdagi yagona 2-davrli yechimga ega, bu erda
(𝑥(0), 𝑥(1), 𝑥′(0))
vektor
(14)
tenglamalar sistemasining yagona yechimi.
3. Xulosa
. Ushbu tadqiqot
𝑥′′(𝑡) + 𝑝𝑥′′(𝑡 − 1) = 𝑞𝑥([𝑡]) + 𝑓(𝑡)
ko'rinishdagi
2 ta davriy funksiyalar uchun bo'lak-bo'lak doimiy argumentlari bo'lgan ikkinchi
tartibli differensial tenglamalar bilan bog'liq masalalarni hal qildi. Bu yerda f(t)
uzluksiz [t] eng katta butun funksiya. 2- davriy funksiyalar uchun boʻlak-boʻlak
oʻzgarmas argumentli differensial tenglamalarni asosiy funktsiyadan foydalangan
holda yechishning yangi usuli joriy etildi.
4. Tavsiyalar.
Ushbu tadqiqot faqat bitta teoremani isbotladi 1.1 teorema
muhokama qilingan usullar yordamida kelajakda isbotlanishi kerak bo'lgan yana ikkita
teorema mavjud. Bu teoremalar
Agar
𝐷
3
(𝑝, 𝑞) = 0
va
𝐹
3
(1) = 𝐹
3
(2) = 𝐹
3
(3) = 𝐹
3
′
(3) = 𝐹
3
′′
(3) = 0,
bo'lsa, (1.2)
tenglama cheksiz bo'ladi. shaklga ega bo'lgan 3 ta davriy eritmalar soni
𝑥(𝑡) = 𝛼 (𝑥(0) + 𝑥
′
(0)𝑡 +
𝑞
1−𝑝
3
𝑄
3
(𝑡)) + 𝐹
3
(𝑡)
214
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
agar
𝐷
3
(𝑝, 𝑞) = 0
va darajasi
[𝐴] <
bo’lsa
[𝐴, 𝐹
𝑇
], 𝐹 = (𝐹
3
(1), 𝐹
3
(2), 𝐹
3
(3), 𝐹
3
′(3)),
u holda (1.2) tenglama 3 ta davriy yechimga ega emas.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Arscott, F.M. An Introduction to Mathieu, Lame and Allied Functions . - New
York: The Macmillan Company, 1964. - 141-153 с.
2. Wiener, J. Generalized Solutions of Functional Differential Equations. -
Singapore: World Scientific, 1993. - 213-271 с.
3. Cooke, K.L., Wiener A survey of differential equations with piecewise
continuous arguments. . Delay Differential Equations and Dynamical Systems., 1991.
4. Kupper, T., Yuan, R On Quasi-Periodic Solutions of Differential Equations
with Piecewise Constant Argument // Journal of mathematical analysis and
applications.. - 2002. - С. 22-32.
5. Muminov, M. On the method of finding periodic solutions of second- order
neutral differential equations with piecewise constant arguments // Advances in
Difference Equations. - 2017. - №336.
6. Mukhiddin I. Muminov and Ali H. M. Murid Existence conditions for periodic
solutions of second-order neutral delay differential equations with piecewise constant
arguments. // Open Mathematics, Volume 18. - 2020. - №1. - С. 93-105. 7.
7. Cooke, K.L., Wiener, J. Retarded differential equations with piecewise constant
delays // J. Math. Anal. Appl. . - 1984. - №99(1). - С. 265-297.
8. Zhuang, R.K. Existence of almost periodic solutions to n-th order neutral
differential equations with piecewise continuous arguments. // Abstract and Applied
Analysis. - 2012. - С. 3-5.
9. Lu, S., Ge, W. Sufficient Conditions for the Existence of Periodic Solutions to
some Second Order Differential Equations with a Deviating Argument // J. Math. Anal.
Appl.. - 2005. - №308. - С. 393-419.
10.
S. Busenberg and K. L. Cooke. Models of vertically transmitted diseases with
sequential-continuous dynamics, Nonlinear Phenomena in Mathematical Sciences (V.
Lakshmikantham, Ed.) // Academic Press. - New York. 1982. - С. 179-187.
