ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА С ПЕРИОДОМ ДВА ДЛЯ
HC-МОДЕЛЕЙ НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ
Мадгозиев Г.Т.
1
1
Tashkent University of Applied Sciences, Gavhar Str. 1, Tashkent 100149, Uzbekistan
https://doi.org/10.5281/zenodo.10471186
Ключевые слова:
дерево Кэли, конфигурация, НС-модель, мера Гиббса.
Abstract:
Мы рассматриваем модели жесткого ядра с четырьмя ближайшими соседями (HC) на однородном
дереве Кэли. При некоторых условиях на параметрах модели мы доказываем существование
нескольких периодических мер Гиббса.
1 ВВЕДЕНИЕ
Известно, что теория мер Гиббса играет важную
роль во многих научных и практических
исследованиях, направленных на изучение
термодинамических свойств физических и
биологических систем. Информацию о HC-
моделях можно найти в работах [1] и [2].
2 ОПРЕДЕЛЕНИЯ И
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Дерево Кэли
)
,
(
L
V
Г
k
порядка
1
k
есть
бесконечное дерево, т.е. граф без циклов, из
каждой вершины которого выходит ровно
1
+
k
ребер.
Здесь
−
V
множество
вершин
и
−
L
множество ребер.
Вершины
x
и
y
называются ближайшими
соседями, если существуют ребро
L
l
и
соединяющие их, т.е.
.
,
=
y
x
l
Расстояние
,
,
,
)
,
(
V
y
x
y
x
d
на
дереве
определяется формулой
}
=
,
,
,
,
=
|
{
=
)
,
(
1
1
0
V
y
x
x
x
x
x
d
min
y
x
d
d
d
−
,
где
−
−
d
d
x
x
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
1
2
1
1
0
ближайшие
соседи.
Для
фиксированного
V
x
0
введем
обозначение
,
)
,
(
:
=
,
=
)
,
(
:
=
0
0
0
n
m
m
n
n
n
x
x
d
V
x
W
V
n
x
x
d
V
x
W
=
=
Будем писать
y
x
если путь из
0
x
до
y
проходит через
.
x
При этом вершина
y
называется «прямым потомком» вершины
,
x
если
y
x
и
y
x
, являются ближайшими
соседями.
Для
n
W
x
введем
обозначение
.
1
)
,
(
:
)
(
1
=
=
+
y
x
d
W
y
x
S
n
Множество
)
(
x
S
называется множеством
прямых
потомков
вершины
.
x
Если
−
)
(
x
S
совокупность
«прямых
потомков»
вершины
,
x
то для любой вершины
V
x
,
отличной
от
,
0
x
имеем
k
x
S
=
)
(
и
1
)
(
0
+
=
k
x
S
.
2.1
Условия согласованности
Мы рассматриваем модель, где спин
принимает
значения
из
множества
}
3
,
2
,
1
,
0
{
=
.
Конфигурация на дереве Кэли задается
V
V
x
x
=
}
),
(
{
.
Рассмотрим граф
G
(см.[4]) c ребрами
)
,
(
j
i
.
Определение 1.
Конфигурация
называется
G
-допустимой конфигурацией на дереве Кэли,
если
−
}
)
(
),
(
{(
y
x
ребро
G
для любой
ближайшей пары соседей
y
x
,
из .
V
Обозначим множество всех допустимых
G
конфигураций
через
a
,
а
через
A
пространство конфигураций, определенных
на множестве
A
.
Рассмотрим матрицу
,
3
,
3
2
,
3
1
,
3
0
,
3
3
,
2
2
,
2
1
,
2
0
,
2
3
,
1
2
,
1
1
,
1
0
,
1
3
,
0
2
,
0
1
,
0
0
,
0
=
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
(1)
где
0
,
j
i
P
, если
,
0
;
)
,
(
,
=
j
i
P
G
j
i
если
G
j
i
)
,
(
и
.
1
,
=
j
j
i
P
Для
G
и
P
Гамильтониан HC-модели
определяется следующим образом
=
.
,
,
,
log
)
(
,
)
(
),
(
a
y
x
a
y
x
если
если
P
H
(2)
Для
,...
2
,
1
=
n
рассмотрим вероятностное
распределение
)
(
n
на
n
V
:
)
3
(
,
1
)
(
),
(
)
(
),
(
,
)
(
x
x
n
n
W
x
y
n
x
n
n
V
y
x
n
n
n
t
P
=
где
)
4
.(
),
(
)
(
),
(
,
=
n
V
n
x
x
n
n
W
x
y
n
x
n
n
V
y
x
n
t
P
Говорят,
что
последовательность
вероятностных мер
)
(
n
является согласованной,
если для любого
2
n
и
:
1
1
−
−
n
V
n
)
5
(
.
)
(
)
,
(
1
)
1
(
1
)
(
−
−
−
=
n
W
n
n
n
n
n
n
Теорема
1.
[4]
Последовательность
вероятностнных мер
( )
,
n
1, 2, 3,...
n
=
в
(3.1.3) согласованная тогда и только тогда, когда
для любого
0
\
x
V
x
имеют место следующие
равенства:
)
6
(
,
,
3
3
,
0
,
2
2
,
0
,
1
1
,
0
0
,
0
,
3
3
,
,
2
2
,
,
1
1
,
0
,
)
(
,
y
y
y
y
i
y
i
y
i
i
x
S
y
x
i
z
P
z
P
z
P
P
z
P
z
P
z
P
P
z
+
+
+
+
+
+
=
где
.
3
,
2
,
1
,
/
,
0
,
,
=
=
i
t
t
z
x
x
i
x
i
Известно (см [3]), что существует взаимно-
однозначное соответствие между множеством
вершин
V
дерева Кэли порядка
k
и группой
k
G
,
представляющей
собой
свободное
произведение
1
+
k
циклических групп второго
порядка с образующими
1
2
1
,
,
,
+
k
a
a
a
.
2.2
Периодические меры Гиббса
Определение 2
. Пусть
−
G
~
подгруппа группы
.
k
G
Совокупность векторов
}
:
{
k
x
G
x
z
z
=
называется
−
G
~
периодической,
если
x
yx
z
z
=
для любых
k
G
x
и
.
~
G
y
Определение
3.
Мера
Гиббса,
соответствующая
−
G
~
периодической
совокупности
векторов,
называется
−
G
~
периодической.
Для этого случая из (6) имеем
,
1
)
7
(
,
)
1
(
,
)
1
(
)
(
)
(
)
(
d
ch
bg
af
h
d
ch
bg
af
f
g
d
ch
bg
af
g
f
y
y
y
x
S
y
x
y
y
y
y
x
S
y
x
y
y
y
y
x
S
y
x
+
+
+
=
+
+
+
−
+
=
+
+
+
−
+
=
где
).
1
,
0
(
,
,
,
,
,
d
c
b
a
Теорема 2.
Если
,
1
)
(
2
2
−
d
k
то существуют
по меньшей мере три
)
2
(
k
G
-периодические меры
Гиббса.
ВЫВОДЫ
Показано, что при некоторых условиях
параметра существуют три периодические
меры Гиббса
БЛАГОДАРНОСТИ
Работа выполнена в соответствии с
плановыми темами научно-исследовательских
работ Ф4-ФА-Ф013 «Неассоциативные и
операторные алгебры, динамические системы
и их приложения в статистической физике и
популяционной биологии» (2012-2016 гг).
ЛИТЕРАТУРЫ
[1]
G.
Brightwell,
O.
Haggstrom,
P.
Winkler.
Nonmonotonic behavior in hard-core and Widom-
Rowlinson models. Jour. Stat. Phys.,94:3-4 (1999),
415-435.
[2]
Rozikov U.A. Gibbs measures on Cayley trees.
World Sci. Publ. Singapore. 2013, 404 p.
[3]
Georgii H.O. Gibbs measures and phase transitions. //
De Gruyter stud. Math.,9, Walter de Gruyter,
Berlin, 1988.-525 p.
[4]
Gandolfo D.,U.A.Rozikov.,J.Ruiz. On Four State
Hard Core Models on the Cayley Tree. Markov
Processes Relat. Fields 22,359-377 (2016).
