Talabalarni matematik bilimlarini oshirishga qaratilgan metodik
yondashuv.
Solayeva Mehribon Norimonovna
1
Tashkent University of Applied Sciences, Gavhar Str. 1, Tashkent 100149, Uzbekistan
https://doi.org/10.5281/zenodo.10449326
Keywords:
Equations, methods of solving equations, graphing a function, finding the last number.
.
Abstract:
In this article, the methods of working some examples in the collection of questions for
mathematics science Olympiads, which are held in order to determine the mastery level and
talent of pupils and students, are analyzed and solutions are shown.
1 ASOSIY QISM
Hozirgi kunda o‘qituvchilar, talabalarga
matematika fanini o’zlashtirishda katta ma’suliyat
qo‘yilgan. Shu jumladan maktab matematikasiga
ham. Bundan o‘n-o‘n besh yillar oldingi maktab
matematikasi
va
hozirgi
zamon
maktab
matematikasini solishtiradigan bo‘lsak u holda
hozirgi zamon maktab matematikasini ancha
rivojlanganini va murakkablashganini ko‘ramiz. Shu
bilan bir qatorda olimpiadalarga bo‘lgan talab ham
oshgan. Hozirgi internet va axborot rivojlangan
kunda o‘quvchilarga biror misol yoki masalani
o‘rgatish, fikrlashga o‘rgatish bu o‘qituvchi uchun
katta ma’suliyatli ish hisoblanadi. Shulardan kelib
chiqib
biz
hozir
viloyat
va
respublika
olimpiodalariga qo‘yilgan va qo‘yilish ehtimoli
bo‘lgan misollardan bir nechtasini yechimini
topishning ba’zi usullarini ko‘rib chiqamiz.
1.
𝑥
log
2
9
= 𝑥
2
∙ 3
log
2
𝑥
− 𝑥
log
2
3
tenglamani
yeching.
Yechish:
Ushbu
tenglamani
ishlashda
logorifmning xossalaridan foydalanamiz [1,2].
Ya’ni:
𝑎
log
𝑐
𝑏
= 𝑏
log
𝑐
𝑎
bu xossadan tenglama
quyidagi ko‘rinishga keladi.
9
log
2
𝑥
= 𝑥
2
∙ 3
log
2
𝑥
− 3
log
2
𝑥
3
2 log
2
𝑥
− 𝑥
2
∙ 3
log
2
𝑥
+ 3
log
2
𝑥
= 0
3
log
2
𝑥
(3
log
2
𝑥
− 𝑥
2
+ 1) = 0
Tenglik xossasidan kavsdan tashqaridagi va
kavs ichidagi ifodalarni nolga tenglashtirib
ishlaymiz.
3
log
2
𝑥
= 0
3
log
2
𝑥
− 𝑥
2
+ 1 = 0
Birinchi tenglikdan ko‘rinib turibdiki musbat
sonning biror darajasi nolga teng bo‘lmaydi. Endi
ikkinchi tenglikni ishlaydigan bo‘lsak u holda,
3
log
2
𝑥
= 𝑥
2
− 1
Ekanligini ko‘ramiz va bu tenglikdan ko‘rinib
turibdiki tenglikning bir tomoni darajali funksiya
bo‘lsa ikkinchi tomoni ko‘rsatkichli funksiyadir
shuning uchun bu tenglamani ishlashdan oldin
yechimga ega yoki ega emasligini ko‘rsatish uchun
bu ikkala funksiyaga qiymat berib grafigini
yasaymiz.
𝑦 = 3
log
2
𝑥
funksiya grafigini chizaylik.
𝑥
1
2
4
1
2
1
4
𝑦
1
3
9
1
3
1
9
Endi
𝑦 = 𝑥
2
− 1
funksiyaga qiymat beraylik.
𝑥
1
2
3
4
-1
-2
-3
𝑦
0
3
8
15
0
3
8
Ikkita funksiyaning grafigini chizish natijasida
hosil bo‘ladigan grafikdan ko‘rinadiki bu
tenglama yagona yechimga ega va bu yechim
𝑥
=2 ga teng.
2.
19
8
7
ning oxirgi uchta raqamini toping. Bu
misolda agar ifodaning oxirgi raqamini toping
savolini qo‘yganida juda osn topilardi sababi biz
bilamizki 9 sonining darajalarida oxirgi raqami
ikkitadan qaytariladi va 9 yoki 1 bilan tugaydi.
Lekin bu misolda oxirgi uchta raqamini so‘raganligi
uchun, boshqacharoq amal bajarishga to‘g‘ri keladi.
Ya’ni darajani 2 ning darajasi ko‘rinishida yozib
Nyuton binomini qo‘llab yoyamiz [3,4].
19
8
7
= 19
2
21
= 19
2
10
∙2
10
∙2
1
= 19
1024∙1024∙2
= 19
1024
∙ 19
1024
∙ 19
2
= (20 − 1)
1024
∙ (20 − 1)
1024
∙ 361
= (20
1024
− 1024 ∙ 20
1023
+ ⋯ +
1024 ∙ 1023
2
∙ 20
2
− 1024 ∙ 20 + 1)
∙ (20
1024
− 1024 ∙ 20
1023
+ ⋯ +
1024 ∙ 1023
2
∙ 20
2
− 1024 ∙ 20 + 1) ∙ 361
Ushbu
yoyilmadan
ko‘rinib
turibdiki
yoyilmadagi
20
2
gacha bo‘lgan qismining
yig‘indi va ayirmasi oxirgi uchta raqami nol
bilan tugaydi shuning uchun
20
2
qatnashgan va
undan keyingi qo‘shish va ayirish amallari
ustida ishlaymiz.
(20
1024
− 1024 ∙ 20
1023
+ ⋯ +
1024∙1023
2
∙
20
2
− 1024 ∙ 20 + 1) ∙ (20
1024
− 1024 ∙
20
1023
+ ⋯ +
1024∙1023
2
∙ 20
2
− 1024 ∙ 20 +
1) ∙ 361 = (… 000 + 512 ∙ 1023 ∙ 400 −
20480 + 1) ∙ (… 000 + 512 ∙ 1023 ∙ 400 −
20480 + 1) ∙ 361 = (… 000 + 209489921) ∙
(… 000 + 209489921) ∙ 361 = ⋯ 921 ∙
… 921 ∙ 361 = ⋯ 241 ∙ 361 = ⋯ 001
Demek yuqoridagi darajali ifodaning oxirgi
uchta raqami 001 bilan tugar ekan.
3.
(1
4
+
1
4
)(3
4
+
1
4
)…(19
4
+
1
4
)
(2
4
+
1
4
)(4
4
+
1
4
)…(20
4
+
1
4
)
ifodani
soddalashtiring.
Ifodani soddalashtirish uchun har bir kavsni
to‘la kvadrat shakliga keltiramiz [3,5], ya’ni :
(1
4
+
1
4) (3
4
+
1
4) … (19
4
+
1
4)
(2
4
+
1
4) (4
4
+
1
4) … (20
4
+
1
4)
=
(1
4
+ 2 ∙ 1
2
∙
1
2 +
1
4 − 1
2
)
(2
4
+ 2 ∙ 2
2
∙
1
2 +
1
4 − 2
2
)
∙
(3
4
+ 2 ∙ 3
2
∙
1
2 +
1
4 − 3
2
)
(4
4
+ 2 ∙ 4
2
∙
1
2 +
1
4 − 4
2
)
∙ …
∙
(19
4
+ 2 ∙ 19
2
∙
1
2 +
1
4 − 19
2
)
(20
4
+ 2 ∙ 20
2
∙
1
2 +
1
4 − 20
2
)
=
((1
2
+
1
2)
2
− 1
2
)
((2
2
+
1
2
)
2
− 2
2
)
∙ … ∙
((3
2
+
1
2)
2
− 3
2
)
((4
2
+
1
2
)
2
− 4
2
)
∙
((19
2
+
1
2)
2
− 19
2
)
((20
2
+
1
2
)
2
− 20
2
)
=
=
(1
2
+
1
2 − 1) (1
2
+
1
2 + 1)
(2
2
+
1
2 − 2) (2
2
+
1
2 + 2)
∙
(3
2
+
1
2 − 3) (3
2
+
1
2 + 3)
(4
2
+
1
2 − 4) (4
2
+
1
2 + 4)
∙ …
∙
(19
2
+
1
2 − 19) (19
2
+
1
2 + 19)
(20
2
+
1
2 − 20) (20
2
+
1
2 + 20)
=
2 ∙ 1 ∙ 0 + 1
2
∙
2 ∙ 2 ∙ 1 + 1
2
2 ∙ 2 ∙ 1 + 1
2
∙
2 ∙ 2 ∙ 3 + 1
2
∙
2 ∙ 2 ∙ 3 + 1
2
∙
2 ∙ 3 ∙ 4 + 1
2
2 ∙ 3 ∙ 4 + 1
2
∙
2 ∙ 5 ∙ 4 + 1
2
∙ …
∙
2 ∙ 19 ∙ 18 + 1
2
∙
2 ∙ 19 ∙ 20 + 1
2
2 ∙ 19 ∙ 20 + 1
2
∙
2 ∙ 20 ∙ 21 + 1
2
=
1
2
841
2
=
1
841
Ushbu misollarni ishlab ko‘rsatish orqali
o‘quvchi va talabalarning iqtidorini aniqlash va
bilim
sifatini
baxolashdan
tashqari,
o‘quvchilarning mantiqiy fikrlash, o‘ylab taxlil
qilish kabi jixatlarini rivojlantirishda katta o‘rin
egallaydi.
Foydalanilgan adabiyotlar.
[1] Maxmudova D.M., Do‘smurodova G.X., Eshmamatov
I.A.,.Abduqodirova P.T. Algebra va sonlar nazariyasi
o‘quv qo‘llanma Chirchiq 2020
[2] D.Yunusоvа, A.Yunusоv. Algеbrа vа sоnlаr
nаzаriyasi. Modul texnologiyasi asosida tayyorlangan
misоl vа mаshqlаr to’plаmi. Toshkent 2007.
[3] Соловьев Ю. П. Задачи по алгебре и теории чисел
для математических школ. Ч. 1 - 3. — М.: школа им.
А. Н. Колмогорова, 1998.
[4] Головина Л. И., Яглом И. М. Индукция в
геометрии. Серия популярные лекции по математике
— Вып. 21.— М.: Наука, 1961.
[5] Соминский И. С. Метод математической индукции.
Серия популярные лекции по математике — Вып. 3.
— М.: Наука, 1974.
