Shtifel ko‘pxilligi geometriyasi
Madrimov Madraxim
Mirzo Ulug’bek nomidagi
O’zbekiston Milliy Universiteti Toshkent shahar, Olmazor tumani
https://doi.org/10.5281/zenodo.10471317
Kalit so’zlar: Shtifel ko’pxilligi, ko’pxilliklar, izometrik akslantirish, nuqta, aylana, sfera.
Annotatsiya:
Ushbu maqolada Shtifel ko’pxilligi evklid fazosiga akslantirishda sirt o’lchami keltirilgan.
𝑉(𝑛, 𝑘)
to’plam
Shtiefel ko’pxilligi ekanligi ko’rsatilgan..
Biz
𝑉(𝑛, 𝑘) 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛 𝑘
o’lchovli evklid fazosini n
o’lchovli fazoga chiziqli izometrik akslantirish
to’plamini belgilaylik. Bu yerda
𝑘, 𝑛 ∈ 𝑍
+
∪ 0
hamda 0
≤ 𝑘 ≤ 𝑛
shartni qanotlantiruvchi butun
sonlar. Bu to’plamning ko’pxillik ekanligini
ko’rsatamiz va uni Shtifell ko’pxilligi deb ataymiz.
Biz k o’lchovli evklid fazosini n o’lchovli evklid
fazosiga akslantitishni aniqlash uchun fazoda birorta
ortonormal bazis tanlaymiz
1
2
, ,...,
k
e e
e
1
'
,
(
)
0
'
i
j
ij
agar i
j bo lsa
e
e
agar i
j bo lsa
=
=
=
Shunda
x
∈
k
R
1
2
1
2
...
k
k
x
x e
x e
x e
=
+
+ +
ko’rinishda ifodalanadi.
Chiziqli izometrik akslantirish ortogonal matrisa
yordamida berilganli uchun uni
( )
1
2
1
2
...
k
k
f x
x Ae
x Ae
x Ae
=
+
+ +
ko’rinishda yozamiz.
A
ortoganal matritsa bo’lgani
uchun
T
A A
E
=
Biz matritsani
11
21
1
12
22
2
1
2
k
k
n
n
kn
v
v
v
A
v
v
v
v
v
v
=
Ko‘rinishda yozamiz.
A
matritsaning elementlari
soni
n k
ta elementdan
iborat.
(𝐴𝑒
𝑖
→
; 𝐴𝑒
𝑗
→
) = {
1 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑖 = 𝑗 𝑏𝑜′𝑙𝑠𝑎
0 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑖 ≠ 𝑗 𝑏𝑜′𝑙𝑠𝑎
Demak,
𝑖 ≠ 𝑗
holda tenglamalar soni qaraymiz
(𝐴𝑒
1
→
; 𝐴𝑒
𝑗
→
)
bo’lganda
0 𝑔𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔
bo’lgan tenglamalar
𝑘 − 1 𝑡𝑎
;
(𝐴𝑒
2
→
; 𝐴𝑒
𝑗
→
)
bo’lganda esa
𝑘 − 2 𝑡𝑎
buni
davom ettirib
(𝐴𝑒
𝑘−1
→
; 𝐴𝑒
𝑗
→
)
bo’lganda 1 ta ularning
hammasi
𝑘 − 1 + 𝑘 − 2+. . . +2 + 1 =
𝑘−1+1
2
(𝑘 − 1) =
𝑘(𝑘−1)
2
ta
Hamda
𝑖 = 𝑗
holda
1 𝑔𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔
bo’lgan tenglamalar
soni
(𝐴𝑒
1
→
; 𝐴𝑒
1
→
)
1 𝑡𝑎
;
(𝐴𝑒
2
→
; 𝐴𝑒
2
→
)
1 𝑡𝑎
;
(𝐴𝑒
3
→
; 𝐴𝑒
3
→
)
1 𝑡𝑎
;
. ..
;
(𝐴𝑒
𝑘
→
; 𝐴𝑒
𝑘
→
)
1 𝑡𝑎
bu hollarda hammasi bo’lib
𝑘 𝑡𝑎
tenglama. Biz
barcha
𝑖 ≠ 𝑗
va
𝑖 = 𝑗
hollardagi tenglamalarni
sonini aniqlashimiz uchun yuqoridagi hollarda hosil
bo’lgan barcha tenglamalar sonini qo’shamiz.
Natijada
𝑘 +
𝑘(𝑘−1)
2
=
𝑘(𝑘−1+2)
2
=
𝑘(𝑘+1)
2
ni hosil qilamiz.
Bu akslantirishda sirt o’lchami quyidagicha
kamayadi
(
)
1
2
k k
nk
+
−
(1)
(1)
Formula ixtiyoriy
𝑉(𝑛, 𝑘)
fazoda Shtifel
ko’pxilligini
𝑓(𝑥)
akslantirishdagi sirtini o’lchamini
ifodalaydi.
Umumiy xolda aytganda
𝑉(𝑛, 0)
holda bu
to’plam
𝑓(𝑥)
akslantirishimizda
𝑆
0
ya’ni nuqtaga
akslanar ekan. Haqiqatan ham,
𝑉(𝑛, 0) −
nol
o’lchovli evklid fazosini n o’lchovli fazoga chiziqli
akslantiruvchi izometrik akslantirish to’plami.
𝑉(𝑛, 1) −
1
n
S
−
sferaga
akslanadi.
𝑉(𝑛, 2), 𝑉(𝑛, 3), . . . , 𝑉(𝑛, 𝑛)
hollarda
hosil
bo’ladigan tenglamalar sonini
𝑉(𝑛, 𝑘)
to’plam
elementlari sonidan ayirsak yuqoridagi (1) formula
kelib chiqishini ham ko’rishimiz mumkin.
Misol uchun
𝑉(2,1)
to’plam f akslantirishimizda
2 1
1
S
S
−
=
yani aylanaga akslanar ekan haqiqatan
ham,
𝑉(2,1) −
bir o’lchovli evklid fazosini ikki
o’lchovli fazoga chiziqli akslantiruvchi izometrik
akslantirish to’plami.
𝑉(2,1)
1
2
R
R
→
1
R
ga tegishli e birlik vektorni,
hamda unga tegishli biror
x
nuqtani olamiz
x
A
=
x
e
=
u holda
( )
f x
Ae
=
bo’ladi. Bundan
(𝐴𝑒
1
→
; 𝐴𝑒
1
→
) = (
𝑣
11
𝑣
12
) (
𝑣
11
𝑣
12
) = 𝑣
11
2
+ 𝑣
12
2
= 1
2
2
11
12
1
v
v
+
=
(2)
aylana tenglamasi hosil bo’ldi. Biz buni o’lchovi
1
S
ga akslanishini aytgan edik. Endi buni (1) Shtifel
fo’rmulasiga qo’yamiz: Bu yerda
2,
1
n
k
=
=
(
)
1 1 1
2 1
2 1 1
2
+
−
= − =
𝑉(2,1)
to’plamimiz 2 ta
elementdan iborat, undan biz hosil qilgan yuqoridagi
(2)
bitta tenglama sonini
ayirsak 2-1=1 bo’lishini
osongina ko’ramiz.
Endi
𝑉(3,1)
va
𝑉(3,2)
hollarni ko’raylik qolgan
barcha
hollar
𝑉(𝑛, 𝑘)
hammasi
shu
tartibda
bajariladi.
𝑉(3,1)
1
3
R
R
→
1
R
dan e birlik vektor va biror
x
nuqta tanlab olamiz
x
e
=
( )
f x
Ae
=
bu
holda
(𝐴𝑒
1
→
; 𝐴𝑒
1
→
) = (
𝑣
11
𝑣
12
𝑣
13
) (
𝑣
11
𝑣
12
𝑣
13
) = 𝑣
11
2
+ 𝑣
12
2
+ 𝑣
13
2
= 1
bo’ladi
Ya’ni
2
2
2
11
12
13
1
v
v
v
+
+
=
2
(
)
S
sfera tenglamasini
ifodalaydi.
Biz
(1)
fo’rmuladan ham
3,
1
n
k
=
=
dan
(
)
1 1 1
3 1
3 1
2
2
+
−
= − =
2
S
ekanini ko’rsata
olamiz. Keyingi barcha
𝑉(𝑛, 1)
hollarda
−
1
n
S
−
sferaga akslanishi ravshan.
𝑉(3,2)
holatni ham ko’rsak bunda
f
funksiya
2
3
R
R
→
bajaradi. Endi
2
R
ga tegishli ikkita
1
2
,
e e
vector hamda biror
1
2
1
2
x
e
e
=
+
nuqta
olamiz.
U
holda
f
akslantiruvchi
funksiya
1
2
1
2
( )
f x
Ae
Ae
=
+
bo’ladi.
(𝐴𝑒
1
→
; 𝐴𝑒
1
→
) = (
𝑣
11
𝑣
12
𝑣
13
) (
𝑣
11
𝑣
12
𝑣
13
) = 𝑣
11
2
+ 𝑣
12
2
+ 𝑣
13
2
= 1
va
(𝐴𝑒
2
→
; 𝐴𝑒
2
→
) = (
𝑣
21
𝑣
22
𝑣
23
) (
𝑣
21
𝑣
22
𝑣
23
) = 𝑣
21
2
+ 𝑣
22
2
+ 𝑣
23
2
= 1
bundan tashqari yana bitta tenglamamiz bor
0
ij
=
holda
(𝐴𝑒
1
→
; 𝐴𝑒
2
→
) = (
𝑣
11
𝑣
12
𝑣
13
) (
𝑣
21
𝑣
22
𝑣
23
)
= 𝑣
11
𝑣
21
+ 𝑣
12
𝑣
22
+ 𝑣
13
𝑣
23
= 0
ularni sistema qilib yozsak
2
2
2
11
12
13
2
2
2
21
22
23
11 21
12 22
13 23
1
1
0
v
v
v
v
v
v
v v
v v
v v
+
+
=
+
+
=
+
+
=
3 ta tenglama hosil bo’ldi
𝑉(3,2)
to’plam elementlari
soni
3 2
6
=
ta undan hosil qilgan
tenglamalarimiz
sonini ayirsak
6 3 3
− =
qoladi. Demak,
n
va
k
larni o’zgartirib yuqoridagi
(1)
fo’rmula har doim
o’rinli bo’lishini ko’rishimiz mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
В.А.Рохлин, Д.Б.Фукс.
НАЧАЛЬНЫЙ
КУРС ТОПОЛОГИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ГЛАВЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва
1977
2.
Muirhead, Robb J. (1982).
Aspects of
Multivariate Statistical Theory
. John Wiley & Sons,
