DESCRIPTION OF WAYS TO BUILD A SELF-SIMILAR SOLUTION

ISSN:

2181-3906

2023

International scientific journal

«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»

VOLUME 2 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ

950

AVTOMODEL YECHIM QURISH USULLARI TAVSIFI

Raximov Quvvatali Ortikovich

PhD, Farg'ona davlat universiteti.

Azizbek Samijonov Ismoiljon o‘g‘li

Magistrant, Farg'ona davlat universiteti

https://doi.org/10.5281/zenodo.7958383

Annotatsiya.

Differentsial tenglamalar uchun avtomodel echimlarini qurish – bu berilgan

differentsial tenglamalar uchun avtomatik ravishda echimlarni yaratadigan tizim yoki usulni
yaratish jarayonidir. Bu fizika, muhandislik, iqtisodiyot va boshqalar kabi differentsial
tenglamalarning echimlarini tez va samarali topish zarur bo'lgan turli sohalarda foydali bo'lishi
mumkin. Yaqinlashadigan echimlar deb ham ataladigan avtomodel echimlari differentsial
tenglama echimlarining maxsus klassi bo'lib, ular rivojlanish jarayonida tenglamani
qanoatlantirishi uchun avtomatik ravishda o'rnatiladi. Ular murakkab dinamik tizimlarni
tavsiflash yoki eksperimental ma'lumotlarni approksimatsiyalashda qo‘llaniladi.

Kalit so’zlar:

Avtomodel, differentsial tenglama, dinamik tizimlar, approksimatsiya.

ОПИСАНИЕ СПОСОБОВ ПОСТРОЕНИЯ АВТОМОДЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Аннотация.

Построение автомодельных решений дифференциальных уравнений –

это процесс создания системы или метода, который автоматически генерирует решения
для заданных дифференциальных уравнений. Это может быть полезно в различных
областях, таких как физика, инженерия, экономика и т. д., где необходимо быстро и
эффективно находить решения дифференциальных уравнений. Автомоделные решения,
также известные как приближенные решения, представляют собой особый класс решений
дифференциальных уравнений, которые автоматически настраиваются для выполнения
уравнения в процессе разработки. Они используются для описания сложных динамических
систем или аппроксимации экспериментальных данных.

Ключевые слова:

автомодель, дифференциальное уравнение, динамические системы,

аппроксимация.

DESCRIPTION OF WAYS TO BUILD A SELF-SIMILAR SOLUTION

Abstract.

The construction of self–similar solutions of differential equations is the process

of creating a system or method that automatically generates solutions for given differential
equations. This can be useful in various fields, such as physics, engineering, economics, etc., where
it is necessary to quickly and efficiently find solutions to differential equations. Self-similar
solutions, also known as approximate solutions, are a special class of solutions to differential
equations that are automatically configured to fulfill the equation during development. They are
used to describe complex dynamical systems or to approximate experimental data.

Keywords:

self-model, differential equation, dynamical systems, approximation.

Avtomodel echimlarni qurish odatda eng kichik kvadratlar usuli yoki boshqa

optimallashtirish usullaridan foydalanishga asoslangan. Avtomodel echimlarni yaratishda
quyidagi umumiy yondashuvlar mavjud:

Funktsional shaklni aniqlash: avval siz qaralayotgan tizim yoki ma'lumotlarga eng mos

keladigan avtomodel echimning funktsional shaklini aniqlashingiz kerak. Bu sozlanishi kerak
bo'lgan parametrlarni o'z ichiga olgan analitik formula bo'lishi mumkin.

ISSN:

2181-3906

2023

International scientific journal

«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»

VOLUME 2 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ

951

Yo'qotish funktsiyasini aniqlash: keyinchalik, modeldan olingan qiymatlar va kuzatilgan

ma'lumotlar o'rtasidagi farqni o'lchaydigan yo'qotish funktsiyasini aniqlash kerak. Odatda ayirma
kvadratlari yig'indisi (qoldiq kvadratlari yig'indisi) yoki boshqa mos metrika ishlatiladi.

Parametrlarni optimallashtirish: keyin model parametrlarini yo'qotish funktsiyasini

minimallashtirish uchun sozlash uchun eng kichik kvadratlar usuli yoki gradient tushish algoritmi
kabi optimallashtirish usuli qo'llaniladi. Bu optimallashtirish muammosini hal qilishni yoki iterativ
usullardan foydalanishni talab qilishi mumkin.

Natijani tekshirish va tahlil qilish: avtomodel echim parametrlarini o'rnatgandan so'ng,

olingan natijalarni tekshirish va tahlil qilish amalga oshiriladi. Bunga model qiymatlarini
kuzatilgan ma'lumotlar bilan taqqoslash, muvofiqlik sifatini baholash va olingan model
parametrlarini tahlil qilish kiradi.

Avtomatik modellashtirish echimlarini yaratish - bu turli xil funktsional shakllar, dastlabki

shartlar va optimallashtirish usullari bilan tajriba o'tkazishni talab qiladigan iterativ jarayondir.
Jismoniy cheklovlarni va olingan parametrlarning talqin qilinishini hisobga olish ham muhimdir.

Yuqoridagilarga asoslanib quyidagi masalani avtomodel echimlarini qurishni ko’rib

o’tamiz:

𝜕𝑢

𝜕𝑡

=

𝜕

𝜕𝑥

(𝑢

𝜎

𝜕𝑢
𝜕𝑥

) − 𝑘(𝑡) |

𝜕𝑢
𝜕𝑥

|

𝛼

𝑢

𝛽

(1)

𝑢(0, 𝑥) = 𝑢

0

(𝑥) ≥ 0 (2)

𝑢(𝑡, 0) = 𝑢

1

(𝑡) ≥ 0; 𝑢(𝑡, 𝑀) = 𝑢

2

(𝑡) ≥ 0. (3)

bu yerda

𝑘(𝑡) = (𝑇 − 𝑡)

𝛿

.

Yechimni quyidagi ko‘rinishda qidiramiz:

𝑢 = (𝑇 − 𝑡)

𝛾

𝑤(𝑧);

bu yerda

𝑧 = 𝑥(𝑇 − 𝑡)

𝜌

.

(1) tenglamaning har bir hadini hisoblab olamiz:

𝜕𝑢

𝜕𝑡

= −𝛾(𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

𝑤(𝑧) + (𝑇 − 𝑡)

𝛾

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝑡

= −𝛾(𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

𝑤(𝑧) − (𝑇 − 𝑡)

𝛾

𝑥𝜌(𝑇 − 𝑡)

𝜌−1

𝜕𝑤

𝜕𝑧

= −𝛾(𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

𝑤(𝑧) − 𝜌(𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑧

= (𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

(−𝛾𝑤(𝑧) − 𝜌𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑧

) ;

𝜕

𝜕𝑥

(𝑢

𝜎

𝜕𝑢
𝜕𝑥

) =

𝜕

𝜕𝑧

((𝑇 − 𝑡)

𝛾𝜎

𝑤

𝜎

(𝑇 − 𝑡)

𝛾

(𝑇 − 𝑡)

𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑧

) (𝑇 − 𝑡)

𝜌

= (𝑇 − 𝑡)

𝛾𝜎+𝛾+2𝜌

𝜕

𝜕𝑧

(𝑤

𝜎

𝜕𝑤

𝜕𝑧

) ;

𝑘(𝑡) |

𝜕𝑢
𝜕𝑥

|

𝛼

𝑢

𝛽

= (𝑇 − 𝑡)

𝛿

|(𝑇 − 𝑡)

𝛾

𝜕𝑤

𝜕𝑧

(𝑇 − 𝑡)

𝜌

|

𝛼

(𝑇 − 𝑡)

𝛾𝛽

𝑤

𝛽

= (𝑇 − 𝑡)

𝛿+𝛾𝛽+(𝛾+𝜌)𝛼

|

𝜕𝑤

𝜕𝑧

|

𝛼

𝑤

𝛽

.

Tenglamani qayta yozib olamiz:

(𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

(−𝛾𝑤(𝑧) − 𝜌𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑧

) =

= (𝑇 − 𝑡)

𝛾𝜎+𝛾+2𝜌

𝜕

𝜕𝑧

(𝑤

𝜎

𝜕𝑤

𝜕𝑧

) − (𝑇 − 𝑡)

𝛿+𝛾𝛽+(𝛾+𝜌)𝛼

|

𝜕𝑤

𝜕𝑧

|

𝛼

𝑤

𝛽

.

(𝑇 − 𝑡)

koeffisientlar daraja ko‘rsatkichlarini

𝛾 − 1

ga tenglaymiz:

ISSN:

2181-3906

2023

International scientific journal

«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»

VOLUME 2 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ

952

{

𝛾𝜎 + 𝛾 + 2𝜌 = 𝛾 − 1;
𝛿 + 𝛾𝛽 + (𝛾 + 𝜌)𝛼 = 𝛾 − 1.

Bu sistemadan

𝛾

va

𝜌

ni topib olamiz:

𝜌 = −

1+𝛾𝜎

2

,

𝛿 + 𝛾𝛽 + (𝛾 −

1+𝛾𝜎

2

) 𝛼 = 𝛾 − 1,

𝛾 (𝛽 + 𝛼 −

𝛼𝜎

2

− 1) = −1 − 𝛿 +

𝛼

2

.

Demak,

{

𝛾 =

𝛼 − 2(1 + 𝛿)

2(𝛼 + 𝛽 − 1) − 𝛼𝜎

;

𝜌 = −

1
2

−

𝜎(𝛼 − 2(1 + 𝛿))

4(𝛼 + 𝛽 − 1) − 2𝛼𝜎

.

Bu yerda

2(𝛼 + 𝛽 − 1) ≠ 𝛼𝜎 → 𝛼(2 − 𝜎) ≠ 2 − 2𝛽 → 𝛼 ≠

2(1−𝛽)

2−𝜎

.

Kritik xol.

Tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin bo‘ldi:

(𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

(−𝛾𝑤(𝑧) − 𝜌𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑧

) = (𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

𝜕

𝜕𝑧

(𝑤

𝜎

𝜕𝑤

𝜕𝑧

) − (𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

|

𝜕𝑤

𝜕𝑧

|

𝛼

𝑤

𝛽

.

Endi tenglamani ikkiala tomonini

(𝑇 − 𝑡)

𝛾−1

ga bo‘lib, quyidagi avtomodel tenglamaga ega

bo‘lamiz:

−𝜌𝑧

𝑑𝑤

𝜕𝑧

− 𝛾𝑤 =

𝑑

𝜕𝑧

(𝑤

𝜎

𝑑𝑤

𝑑𝑧

) − |

𝑑𝑤

𝑑𝑧

|

𝛼

𝑤

𝛽

yoki

−𝜌𝑧𝑤

′

− 𝛾𝑤 = (𝑤

𝜎

𝑤

′

)

′

− |𝑤

′

|

𝛼

𝑤

𝛽

. (4)

(4) avtomodel tenglamani

𝛼

,

𝛽

va

𝛿

larning tanlangan qiymatlari uchun yechimini quramiz.

𝛾 = 𝜌

bo‘lsin. U xolda

𝜌 = −

1 + 𝛾𝜎

2

ga ko‘ra

𝛾 = −

1 + 𝛾𝜎

2

→ 𝛾 = −

1

𝜎 + 2

ekanligi kelib chiqadi. Va

𝛾 =

𝛼 − 2(1 + 𝛿)

2(𝛼 + 𝛽 − 1) − 𝛼𝜎

dan

𝛿 =

2𝛼 + 𝛽 − 𝜎 + 1

𝜎 + 2

ni topamiz.

Endi (4) tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

−𝛾𝑧

𝑑𝑤

𝜕𝑧

− 𝛾𝑤 =

𝑑

𝜕𝑧

(𝑤

𝜎

𝑑𝑤

𝑑𝑧

) − |

𝑑𝑤

𝑑𝑧

|

𝛼

𝑤

𝛽

,

−𝛾

𝑑𝑧𝑤

𝜕𝑧

=

𝑑

𝜕𝑧

(𝑤

𝜎

𝑑𝑤

𝑑𝑧

) − |

𝑑𝑤

𝑑𝑧

|

𝛼

𝑤

𝛽

.

ISSN:

2181-3906

2023

International scientific journal

«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»

VOLUME 2 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ

953

𝑤(𝑧) ≥ 0

bo‘lganligi uchun quyidagi o‘rinli:

−𝛾

𝑑𝑧𝑤

𝜕𝑧

=

𝑑

𝜕𝑧

(𝑤

𝜎

𝑑𝑤

𝑑𝑧

) − |𝑤

𝛽
𝛼

𝑑𝑤

𝑑𝑧

|

𝛼

yoki

−𝛾

𝑑𝑧𝑤

𝜕𝑧

=

𝑑

𝜕𝑧

(𝑤

𝜎

𝑑𝑤

𝑑𝑧

) − |

1

𝛽
𝛼 + 1

𝑑𝑤

𝛽
𝛼

+1

𝑑𝑧

|

𝛼

𝛼 = 1

deb tanlab, quyidagiga ega bo‘lamiz:

−𝛾

𝑑𝑧𝑤

𝜕𝑧

=

𝑑

𝜕𝑧

(𝑤

𝜎

𝑑𝑤

𝑑𝑧

) −

1

𝛽 + 1

|

𝑑𝑤

𝛽+1

𝑑𝑧

|.

Tenglamani integrallab quyidagiga ega bo‘lamiz:

−𝛾𝑧𝑤 = 𝑤

𝜎

𝑑𝑤

𝑑𝑧

−

1

𝛽 + 1

𝑤

𝛽+1

𝑑𝑤

𝑑𝑧

=

1

𝛽 + 1

𝑤

𝛽+1−𝜎

− 𝛾𝑧𝑤

1−𝜎

(5)

𝑤(𝑧)

funksiyani quyidagi ko‘rinishda qidiramiz:

𝑤(𝑧) = 𝑐

1

𝑧

𝑐

2

.

(5) tenglama hadlarini hisoblab olamiz:

𝑑𝑤

𝑑𝑧

= 𝑐

1

𝑐

2

𝑧

𝑐

2

−1

,

1

𝛽 + 1

𝑤

𝛽+1−𝜎

=

1

𝛽 + 1

(𝑐

1

𝑧

𝑐

2

)

𝛽+1−𝜎

=

𝑐

1

𝛽+1−𝜎

𝛽 + 1

𝑧

𝑐

2

(𝛽+1−𝜎)

,

𝛾𝑧𝑤

1−𝜎

= 𝛾𝑧(𝑐

1

𝑧

𝑐

2

)

1−𝜎

= 𝛾𝑐

1

1−𝜎

𝑧

𝑐

2

(1−𝜎)+1

.

𝑧

ning daraja ko‘rsatkichlarini tenglab

𝑐

2

va

𝛽

ning qiymatlarini topamiz:

𝑐

2

− 1 = 𝑐

2

− 𝑐

2

𝜎 + 1,

𝑐

2

=

2

𝜎

.

𝑐

2

− 1 = 𝑐

2

(𝛽 + 1 − 𝜎),

𝛽 =

𝑐

2

− 1

𝑐

2

+ 𝜎 − 1 =

2

𝜎 − 1

2

𝜎

+ 𝜎 − 1 =

2 − 𝜎

2

+ 𝜎 − 1 =

𝜎

2

.

Endi koeffisientlarni tenglaymiz:

𝑐

1

𝑐

2

=

𝑐

1

𝛽+1−𝜎

𝛽+1

− 𝛾𝑐

1

1−𝜎

,

𝑐

2

=

𝑐

1

𝛽−𝜎

𝛽+1

− 𝛾𝑐

1

−𝜎

.

𝑐

2

=

2

𝜎

va

𝛽 =

𝜎

2

ekanligini hisobga olsak:

2

𝜎

=

𝑐

1

𝜎

2

−𝜎

𝜎

2

+1

− 𝛾𝑐

1

−𝜎

,

2

𝜎

=

2𝑐

1

−

𝜎

2

𝜎+2

− 𝛾𝑐

1

−𝜎

.

𝑋 = 𝑐

1

−

𝜎

2

deb olsak, kvadrat tenglamaga ega bo‘lamiz:

𝛾𝑋

2

−

2

𝜎 + 2

𝑋 +

2

𝜎

= 0.

Kvadrat tenglamaning yechimlari quyidagicha bo‘ladi:

ISSN:

2181-3906

2023

International scientific journal

«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»

VOLUME 2 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ

954

𝑋

1,2

=

2

𝜎 + 2 ±

√( 2

𝜎 + 2)

2

−

8𝛾

𝜎

2𝛾

.

𝑐

1

= 𝑋

−

2

𝜎

va

𝛾 = −

1

𝜎+2

ekanligini e’tiborga olsak

𝑐

1

=

(

−2

(2 ± √12 +

16

𝜎 ))

2

𝜎

.

𝑐

1

ning qiymati sifatida

𝑐

1

=

(

1

∓√3 +

4

𝜎 − 1)

2

𝜎

ni olamiz.

(5) avtomodel tenglamaning yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘lar ekan:

𝑤(𝑧) =

(

1

∓√3 +

4

𝜎 − 1)

2

𝜎

𝑧

2

𝜎

(1)-(3) masala uchun quyidagi tanlangan qiymatlarda

𝛼 = 1,

𝛽 =

𝜎

2

,

𝛿 =

−𝜎 + 6

2𝜎 + 4

Avtomodel yechimga ega bo‘lamiz:

𝑢

𝐴

(𝑡, 𝑥) = (𝑇 − 𝑡)

𝛾

𝑤(𝑧),

𝑢

𝐴

(𝑡, 𝑥) = (𝑇 − 𝑡)

−

1

𝜎+2

𝑐

1

𝑧

𝑐

2

,

𝑢

𝐴

(𝑡, 𝑥) = (𝑇 − 𝑡)

−

1

𝜎+2

(

1

∓√3 +

4

𝜎 − 1)

2

𝜎

𝑧

2

𝜎

,

𝑢

𝐴

(𝑡, 𝑥) = (𝑇 − 𝑡)

−

1

𝜎+2

(

𝑥(𝑇 − 𝑡)

−

1

𝜎+2

∓√3 +

4

𝜎 − 1)

2

𝜎

. (6)

Agar

𝑘(𝑡) = (𝑡 + 𝑐)

𝛿

ko‘rinishda berilsa (

𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

). Quyidagi tanlangan qiymatlarda

𝛼 = 1,

𝛽 =

𝜎

2

,

𝛿 =

−𝜎 + 6

2𝜎 + 4

avtomodel yechim

𝑢

𝐴

(𝑡, 𝑥) = (𝑡 + 𝑐)

−

1

𝜎+2

(

𝑥(𝑡 + 𝑐)

−

1

𝜎+2

√3 +

4

𝜎 + 1 )

2

𝜎

(7)

ISSN:

2181-3906

2023

International scientific journal

«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»

VOLUME 2 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ

955

ko‘rinishda bo‘ladi.

Topilgan (6) va (7) avtomodel yechimlardan masalani sonli yechishda boshlang‘ich

yaqinlashish sifatida foydalanamiz.

XULOSA

Differentsial tenglamalar uchun avtomodel echimlarini qurish – bu berilgan differentsial

tenglamalar uchun avtomatik ravishda echimlarni yaratadigan tizim yoki usulni yaratish
jarayonidir. Bu fizika, muhandislik, iqtisodiyot va boshqalar kabi differentsial tenglamalarning
echimlarini tez va samarali topish zarur bo'lgan turli sohalarda foydali bo'lishi mumkin.
Yaqinlashadigan echimlar deb ham ataladigan avtomodel echimlari differentsial tenglama
echimlarining maxsus klassi bo'lib, ular rivojlanish jarayonida tenglamani qanoatlantirishi uchun
avtomatik ravishda o'rnatiladi. Ular murakkab dinamik tizimlarni tavsiflash yoki eksperimental
ma'lumotlarni approksimatsiyalashda qo‘llaniladi. Qo‘yilgan masala uchun berilganlarning
tanlangan qiymatlarida avtomodel yechimni topish metodikasi ishlab chiqiladi. Harakatlanuvchi
muhitda issiqlik tarqalish masalasi uchun integral munosabatlar usulining qo‘llanishi va ahamiyati
ko‘rib o‘tildi. Integral munosabatlar usuli yordamida masalaning taqribiy yechimni aniqlash usuli
keltirildi.

REFERENCES

1.

"Convective Heat and Mass Transfer" by S.K. Kakac, Y. Bayazitoglu, and H. Yener. (CRC
Press, 2018)

2.

"Transport Phenomena" by R. Byron Bird, Warren E. Stewart, and Edwin N. Lightfoot.
(Wiley, 2007)

3.

"Convective Heat Transfer" by Louis C. Burmeister. (John Wiley & Sons, 1993)

4.

"Convective Heat Transfer: Mathematical and Computational Modelling of Viscous Fluids
and Porous Media" by Kambiz Vafai. (Springer, 2011)

5.

"Convective Heat Transfer" edited by Sadik Kakac, Hongtan Liu, and Anchasa
Pramuanjaroenkij. (CRC Press, 2013)

6.

Арипов М. Методы эталонных уравнений для решения нелинейных краевых задач.
Ташкент, «Фан», 1978.

7.

Aripov M. Asymptotics of Solutions of the non-Newton Polytrophic Filtration Equations.
ZAMM 2000, vol.80, supl.3, 767-768.

8.

Aripov M. Muhammadiev J.U. Asymptotic behaviour of automodel solitions for one
system of qusilinear equations of parabolic type. Buletin Stiintific – Universitatea din
Pitesti, Seria Matematica si Informatica, Nr. 3,(1999),pg. 19-40.

9.

Зельдович Я.Б. и Компанеец А.С. К теории распространения тепла при
теплопроводности, зависящей от температуры. // Сборник, посвященный 70-летию
акад. А.Ф. Иоффе. М. 1950, с.61-71.

10.

Калашников А.С. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной
теплопроводности с поглощением. Ж. выч. мат. и мат. физ. 1974 т. 14, № 4, с 891-
905.

11.

Калашников А. С. О влиянии поглощения на распространение тепла в среде с
теплопроводностью, зависящей от температуры. - ЖВМ н МФ,1976, т.16, № 3, с. 689
-696.

ISSN:

2181-3906

2023

International scientific journal

«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»

VOLUME 2 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ

956

12.

12.

Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А. А. О

неограниченных решениях задачи Коши для параболического уравнения

- ДАН СССР, 1980, т. 252, № 6, с. 1362 -1364.

13.

Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Самарский А. А. Об одной параболической
системе квазилинейных уравнений. I. - Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № 12, с.
2123 - 2140.

14.

Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А. О методе стационарных
состояний для нелинейных эволюционных параболических задач. - ДАН СССР,
1984, т. 278, № 6, с. 1296 - 1300.

15.

Галактионов В.А., Самарский А.А. Методы построения приближенных
автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности. I-Мат. cб., 1982,
т. 118(160), с. 291 -322.

16.

Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных
пластах. М. Наука, 1984. стр.207.

17.

Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в
пористой среде. // ПММ. 1952. т. XVI, вып. 1. с.67-78.

18.

Баренблатт Г.И. Об автомодельных движениях сжимаемой жидкости в пористой
среде. //ПММ. 1952. т. XVI, вып. 6. с.679-698.

19.

Knerr В. F. The behavior of the support of solutions of the equation of nonlinear heat
conduction with absorption in one dimension. Trans. of Amer. Math. Soc., 1979, v. 249, р.
409 - 424.

20.

Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977, 656с.

21.

Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с
обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. – М.: Наука,
1987, 480с.

22.

Исроилов М. Ҳисоблаш усуллари. 2 том. 2008.

23.

Kombe Ismail. Doubly nonlinear parabolic equations with singular lower order term. //
Nonlinear Anal., 56, 2004, №2, pp.185-199.

24.

Kusano Takaŝi and Tomoyuki Tanigava. Positive Solutions to a Class of Second Order
Differential Equations with Singular Nonlinearities. // Applicable Analysis. 1998, Vol.
69(3-4), pp.315-331.

25.

Lin X. and Wang M. The critical exponent of doubly singular parabolic equations. // J.
Math. Anal. Appl., 257:1, 2001, pp.170-188.

26.

Jong-Sheng Guo, Bei Hu. Quenching profile for a quasilinear parabolic equation //
Quarterly of applied mathematics. v. LVIII, № 4, 2000, pp.613-626.

27.

Afanas’eva N.V., Tedeev A.F. Fujita type theorems for quasilinear parabolic equations
with initial data slowly decaying to zero. //Sbornik Mathematics. 195:4 (2004), pp.459-
478.

28.

Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в
экологии. -М.: Нау¬ка, 1987, 368 б.

29.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о
моделях. Москва, Мир, 1983, 394 б.

ISSN:

2181-3906

2023

International scientific journal

«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»

VOLUME 2 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ

957

30.

Белотелов Н.В., Саранча Д.А. Линейный анализ устойчивости систем с диффузией
на экологичес¬ком примере. Биофизика, 1984, №1, 130-134 с.

31.

M. Escobedo and M.A. Herrero. Boundedness and Blow Up for a Semilinear Reaction-
Diffusion System. Journ. Of Differintial Eq. 89, 1991, 176-202.

32.

Chunlai Mu and Ying Su. Global Existence and Blow-Up for a Quasilinear Degenerate
Parabolic System in a Cylinder. Applied Mathematics Letters. 14, 2001, 715-723.

33.

Usmonov, B., Rakhimov, Q., & Akhmedov, A. (2019, November). The study of the
influence of the gamma function on the flutter velocity. In 2019 International Conference
on Information Science and Communications Technologies (ICISCT) (pp. 1-4). IEEE.

34.

Усмонов, Б. Ш., & Рахимов, К. О. (2020). Построение математической модели в
прямой и вариационной постановке задачи изгибно-крутильного колебания
наследственно-деформируемого крыла самолета. Проблемы вычислительной и
прикладной математики, (5), 108-119.

35.

Усмонов Б., Рахимов К. (2021). Моделирование и анализ численных исследований
задач линейных и нелинейных наследственно-деформируемых систем в среде
Matlab. Проблемы вычислительной и прикладной математики // Problems of
computational and applied mathematics, 4(34), 50-59.

36.

Usmonov, B., & Rakhimov, Q. (2019). Vibration analysis of airfoil on hereditary
deformable suspensions. In E3S Web of Conferences (Vol. 97, p. 06006). EDP Sciences.

37.

Каримбердиевич, О.М. (2022). Применение вычислительных методов при
разработке программ и их математическом моделировании. Евразийский журнал
физики, химии и математики , 12 , 131-134.

38.

Рахимов Қувватали, & Сотволдиев Абдумалик Дилмурод ўғли. (2022, October 20).
Машинали ўқитиш ва сунъий интеллектнинг амалий соҳаларда қўлланиш
тенденсиялари. Youth, science, education: topical issues,achievements and innovations,
Prague, Czech. https://doi.org/10.5281/zenodo.7230282

39.

Tojiev, T. H., & Ibragimov, S. M. (2019). Numerical solutions of the cauchy problem for
the generalized equation of nonisotropic diffusion. Bulletin of Namangan State University:
Vol, 1(10), 6.

40.

Raximov , Q., & Sotvoldiyev , A. D. o‘g‘li. (2023). Neyron tarmoqlarining yangi turlarini
tahlil qilish. International scientific and practical conference "The time of scientific
progress",

2(4),

106–112.

Retrieved

from

http://academicsresearch.ru/index.php/ispcttosp/article/view/1500

41.

Botir Usmonov, Quvvatali Rakhimov, Akhror Akhmedov. Statement and general
technique for solving problem of oscillation of a hereditarily deformable aircraft. E3S Web
of Conf. 365 05007 (2023). DOI: 10.1051/e3sconf/202336505007

42.

Рахимов К. и др. Тенденции развития анализа данных, искусственного интеллекта и
интернета вещей //Gospodarka i Innowacje. – 2022. – Т. 30. – С. 209-211.

43.

Тожиев T И. Ш., Рахимов К. Методы построения цепей маркова аппроксимирующие
диффузионных задач //Toshkent shahridagi turin politexnika universiteti. – 2017. – С.
156.

ISSN:

2181-3906

2023

International scientific journal

«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»

VOLUME 2 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ

958

44.

Ortikovych K. R. et al. General characteristics of the flutter and its influence on the stability
of the aircraft //International journal of social science & interdisciplinary research ISSN:
2277-3630 Impact factor: 7.429. – 2022. – Т. 11. – №. 12. – С. 48-56.